Страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Чтобы переместить груз из точки $A$ в точку $B$, его сначала поднимают по наклонной поверхности, а затем опускают также по наклонной поверхности, причём подъём происходит со скоростью на $2 \text{ м/с}$ большей, чем спуск. Длина пути, который проходит груз из точки $A$ в точку $B$, равна $120 \text{ м}$, и длится это перемещение $14 \text{ с}$. Если бы груз перемещали из точки $B$ в точку $A$, то перемещение длилось бы $13 \text{ с}$. Найдите скорость подъёма и скорость спуска груза.

Обозначим переменные:

• $v_{под}$ - скорость подъёма груза (м/с).
• $v_{сп}$ - скорость спуска груза (м/с).
• $s_1$ - длина участка подъёма при движении из точки A в точку B (м).
• $s_2$ - длина участка спуска при движении из точки A в точку B (м).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Скорость подъёма на 2 м/с больше скорости спуска:

$v_{под} = v_{сп} + 2$

2. Общая длина пути из A в B равна 120 м:

$s_1 + s_2 = 120$

3. Время движения из A в B составляет 14 секунд. Время равно отношению расстояния к скорости ($t = s/v$):

$\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{сп}} = 14$

4. При движении из B в A, участок, который был спуском ($s_2$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом ($s_1$), становится спуском. Общее время движения составляет 13 секунд:

$\frac{s_2}{v_{под}} + \frac{s_1}{v_{сп}} = 13$

Получаем систему из двух уравнений относительно времени:

$\begin{cases}\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{сп}} = 14 \\\frac{s_2}{v_{под}} + \frac{s_1}{v_{сп}} = 13\end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{под}}) + (\frac{s_2}{v_{сп}} + \frac{s_1}{v_{сп}}) = 14 + 13$

$\frac{s_1 + s_2}{v_{под}} + \frac{s_1 + s_2}{v_{сп}} = 27$

Вынесем общий множитель $(s_1 + s_2)$ за скобки:

$(s_1 + s_2) \cdot (\frac{1}{v_{под}} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Подставим известное значение $s_1 + s_2 = 120$:

$120 \cdot (\frac{1}{v_{под}} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Теперь подставим в это уравнение соотношение скоростей $v_{под} = v_{сп} + 2$:

$120 \cdot (\frac{1}{v_{сп} + 2} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$120 \cdot (\frac{v_{сп} + (v_{сп} + 2)}{v_{сп}(v_{сп} + 2)}) = 27$

$120 \cdot \frac{2v_{сп} + 2}{v_{сп}^2 + 2v_{сп}} = 27$

$120 \cdot 2(v_{сп} + 1) = 27(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

$240(v_{сп} + 1) = 27(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80(v_{сп} + 1) = 9(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

$80v_{сп} + 80 = 9v_{сп}^2 + 18v_{сп}$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$9v_{сп}^2 + 18v_{сп} - 80v_{сп} - 80 = 0$

$9v_{сп}^2 - 62v_{сп} - 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-62)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-80) = 3844 + 2880 = 6724$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82$.

Теперь найдем корни уравнения:

$v_{сп} = \frac{-(-62) \pm 82}{2 \cdot 9} = \frac{62 \pm 82}{18}$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком "плюс":

$v_{сп} = \frac{62 + 82}{18} = \frac{144}{18} = 8$ м/с.

Теперь найдем скорость подъёма:

$v_{под} = v_{сп} + 2 = 8 + 2 = 10$ м/с.

Ответ: скорость подъёма груза равна 10 м/с, а скорость спуска - 8 м/с.

146. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго велосипедистов в км/ч соответственно.

Велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми $S = 50$ км, и встретились через $t_{встр} = 2$ ч. При движении навстречу их скорости складываются. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$.

За время до встречи они вместе преодолели всё расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot t_{встр} = S$
$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 50$
$v_1 + v_2 = 25$

Известно, что один из велосипедистов потратил на весь путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой. Переведем разницу во времени в часы:
$\Delta t = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.

Время, которое потратил бы первый велосипедист на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$.
Время, которое потратил бы второй велосипедист, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$.

Предположим, что скорость первого велосипедиста больше скорости второго ($v_1 > v_2$), тогда он потратит на весь путь меньше времени ($t_1 < t_2$). Составим второе уравнение:
$t_2 - t_1 = \Delta t$
$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ \frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 25 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{50}{25 - v_1} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$\frac{10}{25 - v_1} - \frac{10}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{10v_1 - 10(25 - v_1)}{v_1(25 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{10v_1 - 250 + 10v_1}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{20v_1 - 250}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции:
$3(20v_1 - 250) = 1(25v_1 - v_1^2)$
$60v_1 - 750 = 25v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 60v_1 - 25v_1 - 750 = 0$
$v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 1225 + 3000 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 65}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 65}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = 25 - v_1 = 25 - 15 = 10$ км/ч.

Скорости велосипедистов равны 15 км/ч и 10 км/ч.

Ответ: скорость одного велосипедиста 15 км/ч, а другого — 10 км/ч.

147. Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 280 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль приехал в город $B$ через 1 ч 30 мин после встречи, а второй в город $A$ — через 2 ч 40 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый автомобиль и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Обозначим искомые величины:

• $v_1$ – скорость первого автомобиля (выехавшего из города А), км/ч.
• $v_2$ – скорость второго автомобиля (выехавшего из города В), км/ч.
• $t$ – время от начала движения до момента встречи, ч.

Общее расстояние между городами $S = 280$ км. Переведем время, данное в условии, в часы:

• Время движения первого автомобиля после встречи: $t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч}$.
• Время движения второго автомобиля после встречи: $t_2 = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot t$. Вместе они проехали все расстояние: $v_1 t + v_2 t = 280$.

После встречи первый автомобиль проехал оставшееся расстояние $S_2$ за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$. Второй автомобиль после встречи проехал расстояние $S_1$ за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Составим систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 t = v_2 t_2$
$v_2 t = v_1 t_1$

Из первого уравнения выразим отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$. Из второго уравнения также выразим отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$. Приравняем правые части этих выражений:
$\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1}$
Отсюда получаем: $t^2 = t_1 \cdot t_2$.

Теперь мы можем найти время до встречи.

Через какое время после начала движения состоялась их встреча

Подставим числовые значения $t_1$ и $t_2$ в полученную формулу:
$t = \sqrt{t_1 \cdot t_2} = \sqrt{1.5 \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$ часа.
Встреча состоялась через 2 часа после начала движения.
Ответ: 2 часа.

С какой скоростью двигался каждый автомобиль

Весь путь первого автомобиля от А до В занял время $T_1 = t + t_1$. Его скорость равна:
$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{S}{t + t_1}$
$v_1 = \frac{280}{2 + 1.5} = \frac{280}{3.5} = \frac{2800}{35} = 80$ км/ч.

Весь путь второго автомобиля от В до А занял время $T_2 = t + t_2$. Его скорость равна:
$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{S}{t + t_2}$
$v_2 = \frac{280}{2 + \frac{8}{3}} = \frac{280}{\frac{6}{3} + \frac{8}{3}} = \frac{280}{\frac{14}{3}} = \frac{280 \cdot 3}{14} = 20 \cdot 3 = 60$ км/ч.
Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго — 60 км/ч.
Ответ: скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 60 км/ч.

148. Из городов $M$ и $N$ одновременно навстречу друг другу отправились два автомобиля. Первый автомобиль прибыл в $N$ через 48 мин после встречи, а второй в $M$ — через 1 ч 15 мин после встречи. За какое время каждый автомобиль проедет расстояние между $M$ и $N$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ и $T_1$ – скорость и общее время в пути первого автомобиля (из M в N).
• $v_2$ и $T_2$ – скорость и общее время в пути второго автомобиля (из N в M).
• $S$ – расстояние между городами M и N.
• $t_{встречи}$ – время от начала движения до момента встречи автомобилей.

По условию, после встречи первый автомобиль прибыл в пункт N через $t_1 = 48$ минут. Второй автомобиль прибыл в пункт M через $t_2 = 1$ час $15$ минут. Переведем $t_2$ в минуты для удобства расчетов: $t_2 = 1 \cdot 60 + 15 = 75$ минут.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{встречи}$, а второй – $S_2 = v_2 \cdot t_{встречи}$.

После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, на что он потратил время $t_1$. Следовательно, $S_2 = v_1 \cdot t_1$.

Второму автомобилю после встречи осталось проехать расстояние $S_1$, на что он потратил время $t_2$. Следовательно, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_2 \cdot t_{встречи} = v_1 \cdot t_1$
$v_1 \cdot t_{встречи} = v_2 \cdot t_2$

Чтобы найти время до встречи $t_{встречи}$, перемножим левые и правые части этих двух уравнений:
$(v_2 \cdot t_{встречи}) \cdot (v_1 \cdot t_{встречи}) = (v_1 \cdot t_1) \cdot (v_2 \cdot t_2)$
$v_1 v_2 \cdot t_{встречи}^2 = v_1 v_2 \cdot t_1 t_2$
Разделив обе части на $v_1 v_2$ (скорости не равны нулю), получим:
$t_{встречи}^2 = t_1 \cdot t_2$
Отсюда $t_{встречи} = \sqrt{t_1 \cdot t_2}$.

Подставим числовые значения $t_1$ и $t_2$:
$t_{встречи} = \sqrt{48 \cdot 75} = \sqrt{3600} = 60$ минут.

Теперь, зная время до встречи, мы можем найти полное время в пути для каждого автомобиля.

Время, за которое первый автомобиль проедет расстояние между M и N
Полное время $T_1$ состоит из времени до встречи и времени после встречи:
$T_1 = t_{встречи} + t_1 = 60 + 48 = 108$ минут.
Переведем это время в часы и минуты: $108$ мин = $1$ час $48$ минут.
Ответ: 1 час 48 минут.

Время, за которое второй автомобиль проедет расстояние между M и N
Полное время $T_2$ также состоит из времени до встречи и времени после встречи:
$T_2 = t_{встречи} + t_2 = 60 + 75 = 135$ минут.
Переведем это время в часы и минуты: $135$ мин = $2$ часа $15$ минут.
Ответ: 2 часа 15 минут.

149. Цена товара сначала повысилась на 10 %, а потом снизилась на 10 %. На сколько процентов изменилась начальная цена?

Пусть начальная цена товара составляет $x$ условных единиц.

1. Сначала цена повысилась на 10%. Новая цена, назовем ее $x_1$, стала равна начальной цене плюс 10% от нее:
$x_1 = x + x \times \frac{10}{100} = x \times (1 + 0.1) = 1.1x$.

2. Затем полученная цена $x_1$ снизилась на 10%. Важно учесть, что 10% теперь вычисляются от новой, уже повышенной цены $1.1x$. Конечная цена, назовем ее $x_2$, будет равна:
$x_2 = x_1 - x_1 \times \frac{10}{100} = x_1 \times (1 - 0.1) = 0.9x_1$.

3. Теперь подставим значение $x_1$ из первого шага в формулу для $x_2$, чтобы выразить конечную цену через начальную:
$x_2 = 0.9 \times (1.1x) = 0.99x$.

4. Чтобы определить, на сколько процентов изменилась начальная цена, сравним конечную цену ($0.99x$) с начальной ($x$).
Начальная цена $x$ — это 100%.
Конечная цена $0.99x$ — это 99% от начальной.
Разница составляет: $100\% - 99\% = 1\%$.
Поскольку конечная цена меньше начальной, цена снизилась.

Также можно рассчитать процентное изменение по формуле:
$\frac{\text{конечная цена} - \text{начальная цена}}{\text{начальная цена}} \times 100\% = \frac{0.99x - x}{x} \times 100\% = \frac{-0.01x}{x} \times 100\% = -1\%$.
Знак "минус" указывает на снижение цены.

Ответ: начальная цена снизилась на 1%.

150. Вкладчик положил в банк 48 000 р. под 5 % годовых.

Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

Чтобы определить, какая сумма будет на счете через 2 года, необходимо рассчитать проценты, начисляемые в конце каждого года, и прибавить их к сумме вклада. Этот процесс называется капитализацией процентов или начислением сложных процентов.

Исходные данные:

• Первоначальный вклад ($P$): $48\;000$ рублей.
• Годовая процентная ставка ($r$): $5\%$.
• Срок вклада ($n$): $2$ года.

Расчет суммы на счете после первого года:

Сначала вычислим сумму процентов, начисленных за первый год. Для этого умножим первоначальный вклад на процентную ставку:
$Проценты_{1} = 48\;000 \cdot \frac{5}{100} = 48\;000 \cdot 0,05 = 2\;400$ рублей.

Теперь добавим начисленные проценты к начальной сумме, чтобы получить остаток на счете в конце первого года:
$Сумма_{1} = 48\;000 + 2\;400 = 50\;400$ рублей.

Расчет суммы на счете после второго года:

На второй год проценты будут начисляться на новую, увеличенную сумму, то есть на $50\;400$ рублей. Вычислим проценты за второй год:
$Проценты_{2} = 50\;400 \cdot \frac{5}{100} = 50\;400 \cdot 0,05 = 2\;520$ рублей.

Прибавим эти проценты к сумме, которая была на счете в начале второго года, чтобы найти итоговую сумму:
$Сумма_{2} = 50\;400 + 2\;520 = 52\;920$ рублей.

Также можно использовать общую формулу для расчета сложных процентов:
$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$
$S = 48\;000 \cdot (1 + \frac{5}{100})^2 = 48\;000 \cdot (1,05)^2 = 48\;000 \cdot 1,1025 = 52\;920$ рублей.

Ответ: через 2 года на счете вкладчика будет 52 920 рублей.

151. В 2010 году в некотором городе проживало 60 000 жителей, а в 2012 году — 66 150 жителей. На сколько процентов ежегодно увеличивалось население этого города?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов. Пусть $N_0$ — начальная численность населения, $N_n$ — численность населения через $n$ лет, а $p$ — ежегодный процент прироста. Формула выглядит так:
$N_n = N_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

По условию задачи нам дано:

• Начальная численность населения в 2010 году ($N_0$) = 60 000 жителей.
• Конечная численность населения в 2012 году ($N_2$) = 66 150 жителей.
• Период времени ($n$) = 2012 - 2010 = 2 года.

Нам нужно найти ежегодный процент увеличения населения $p$.

Подставим известные значения в формулу:
$66150 = 60000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $p$. Сначала разделим обе части уравнения на 60 000:
$\frac{66150}{60000} = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Упростим левую часть:
$\frac{66150}{60000} = 1.1025$

Наше уравнение принимает вид:
$1.1025 = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Чтобы найти выражение в скобках, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку население увеличивалось, нас интересует только положительное значение корня.
$\sqrt{1.1025} = 1 + \frac{p}{100}$
$1.05 = 1 + \frac{p}{100}$

Теперь найдем $p$:
$\frac{p}{100} = 1.05 - 1$
$\frac{p}{100} = 0.05$
$p = 0.05 \cdot 100$
$p = 5$

Таким образом, население города ежегодно увеличивалось на 5%.

Ответ: 5%.