Страница 67 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Запишите пять первых членов последовательности:

1) двузначных чисел, кратных числу 5, взятых в порядке убывания;

2) неправильных обыкновенных дробей с числителем 18, взятых в порядке возрастания;

3) натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, взятых в порядке возрастания.

1) Двузначными числами называются целые числа от 10 до 99. Числа, кратные 5, — это числа, которые делятся на 5 без остатка. Такие числа оканчиваются на 0 или 5. Требуется записать последовательность таких чисел в порядке убывания, то есть от большего к меньшему.
Самое большое двузначное число — 99. Ближайшее к нему число, которое делится на 5, — это 95. Это будет первый член нашей последовательности.
Чтобы найти следующие члены, будем вычитать 5 из предыдущего члена:
Первый член: 95.
Второй член: $95 - 5 = 90$.
Третий член: $90 - 5 = 85$.
Четвертый член: $85 - 5 = 80$.
Пятый член: $80 - 5 = 75$.
Ответ: 95, 90, 85, 80, 75.

2) Неправильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, числитель равен 18. Значит, наши дроби имеют вид $\frac{18}{n}$, где $n$ — натуральное число и выполняется условие $18 \ge n$.
Последовательность нужно записать в порядке возрастания. Из дробей с одинаковым положительным числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Чтобы найти первый, наименьший, член последовательности, мы должны взять максимально возможный знаменатель. Максимально возможный знаменатель $n$ равен 18.
Для получения следующих членов последовательности в порядке возрастания, мы будем последовательно уменьшать знаменатель на 1.
Первый член: $\frac{18}{18}$.
Второй член: $\frac{18}{17}$.
Третий член: $\frac{18}{16}$.
Четвертый член: $\frac{18}{15}$.
Пятый член: $\frac{18}{14}$.
Ответ: $\frac{18}{18}, \frac{18}{17}, \frac{18}{16}, \frac{18}{15}, \frac{18}{14}$.

3) Натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2, можно представить формулой $a_k = 3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, 3, ...$).
Нам нужно найти первые пять членов этой последовательности в порядке возрастания. Для этого мы последовательно подставим в формулу значения $k$, начиная с $k=0$.
При $k=0$: $a_0 = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
При $k=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.
При $k=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$.
При $k=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$.
При $k=4$: $a_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14$.
Ответ: 2, 5, 8, 11, 14.

178. Найдите четыре первых члена последовательности ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена:

1) $a_n = n - 4;$

2) $a_n = 3 - 2n;$

3) $a_n = \frac{n-1}{n^2};$

4) $a_n = \frac{n^3}{3^n}.$

Чтобы найти четыре первых члена последовательности $(a_n)$, необходимо подставить в заданную формулу n-го члена последовательно значения $n=1, n=2, n=3$ и $n=4$.

1) $a_n = n - 4$

Вычислим первые четыре члена последовательности:

При $n=1$: $a_1 = 1 - 4 = -3$

При $n=2$: $a_2 = 2 - 4 = -2$

При $n=3$: $a_3 = 3 - 4 = -1$

При $n=4$: $a_4 = 4 - 4 = 0$

Ответ: -3, -2, -1, 0.

2) $a_n = 3 - 2n$

Вычислим первые четыре члена последовательности:

При $n=1$: $a_1 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

При $n=2$: $a_2 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$

При $n=3$: $a_3 = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$

При $n=4$: $a_4 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$

Ответ: 1, -1, -3, -5.

3) $a_n = \frac{n - 1}{n^2}$

Вычислим первые четыре члена последовательности:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1 - 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$

При $n=2$: $a_2 = \frac{2 - 1}{2^2} = \frac{1}{4}$

При $n=3$: $a_3 = \frac{3 - 1}{3^2} = \frac{2}{9}$

При $n=4$: $a_4 = \frac{4 - 1}{4^2} = \frac{3}{16}$

Ответ: 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{3}{16}$.

4) $a_n = \frac{n^3}{3^n}$

Вычислим первые четыре члена последовательности:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1^3}{3^1} = \frac{1}{3}$

При $n=2$: $a_2 = \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$

При $n=3$: $a_3 = \frac{3^3}{3^3} = \frac{27}{27} = 1$

При $n=4$: $a_4 = \frac{4^3}{3^4} = \frac{64}{81}$

Ответ: $\frac{1}{3}$, $\frac{8}{9}$, 1, $\frac{64}{81}$.

179. Найдите третий, пятый и сотый члены последовательности ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена:

1) $b_n = \frac{6}{n+1};$

2) $b_n = 0,1n + 0,3;$

3) $b_n = 6n - n^2;$

4) $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+2}.$

Для нахождения указанных членов последовательности необходимо подставить соответствующие номера (n=3, n=5 и n=100) в формулу n-го члена.

1) Для последовательности, заданной формулой $b_n = \frac{6}{n+1}$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = \frac{6}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = \frac{6}{5+1} = \frac{6}{6} = 1$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = \frac{6}{100+1} = \frac{6}{101}$.
Ответ: $b_3 = 1,5$; $b_5 = 1$; $b_{100} = \frac{6}{101}$.

2) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 0,1n + 0,3$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = 0,1 \cdot 3 + 0,3 = 0,3 + 0,3 = 0,6$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 0,1 \cdot 5 + 0,3 = 0,5 + 0,3 = 0,8$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 0,1 \cdot 100 + 0,3 = 10 + 0,3 = 10,3$.
Ответ: $b_3 = 0,6$; $b_5 = 0,8$; $b_{100} = 10,3$.

3) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 6n - n^2$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = 6 \cdot 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 6 \cdot 5 - 5^2 = 30 - 25 = 5$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 6 \cdot 100 - 100^2 = 600 - 10000 = -9400$.
Ответ: $b_3 = 9$; $b_5 = 5$; $b_{100} = -9400$.

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+2}$:
Заметим, что $(-1)^{n+2} = (-1)^n \cdot (-1)^2 = (-1)^n \cdot 1 = (-1)^n$. Тогда формулу можно упростить: $b_n = (-1)^n + (-1)^n = 2 \cdot (-1)^n$.
Третий член ($n=3$): $b_3 = 2 \cdot (-1)^3 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 2 \cdot (-1)^5 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 2 \cdot (-1)^{100} = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $b_3 = -2$; $b_5 = -2$; $b_{100} = 2$.

180. Последовательность $(c_n)$ задана формулой $n$-го члена

$c_n = \frac{1}{2}n - 4$. Найдите:

1) $c_1$;

2) $c_8$;

3) $c_{300}$;

4) $c_{k+1}$.

Последовательность $(c_n)$ задана формулой n-го члена $c_n = \frac{1}{2}n - 4$.

Для нахождения значения члена последовательности с заданным номером, необходимо подставить этот номер вместо $n$ в исходную формулу.

1) $c_1$;

Чтобы найти первый член последовательности $c_1$, подставляем $n=1$ в формулу:

$c_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 4 = 0.5 - 4 = -3.5$.

Ответ: -3.5.

2) $c_8$;

Чтобы найти восьмой член последовательности $c_8$, подставляем $n=8$ в формулу:

$c_8 = \frac{1}{2} \cdot 8 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Ответ: 0.

3) $c_{300}$;

Чтобы найти трехсотый член последовательности $c_{300}$, подставляем $n=300$ в формулу:

$c_{300} = \frac{1}{2} \cdot 300 - 4 = 150 - 4 = 146$.

Ответ: 146.

4) $c_{k+1}$;

Чтобы найти член последовательности с номером $k+1$, подставляем $n = k+1$ в формулу:

$c_{k+1} = \frac{1}{2}(k+1) - 4 = \frac{1}{2}k + \frac{1}{2} - 4 = \frac{1}{2}k - 3.5$.

Ответ: $\frac{1}{2}k - 3.5$.

181. Последовательность ($x_n$) задана формулой $n$-го члена

$x_n = \frac{(-1)^n + 2}{5}$

Найдите:

1) $x_1$;

2) $x_{10}$;

3) $x_{2k}$;

4) $x_{2k-1}$.

Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = \frac{(-1)^n + 2}{5}$.

1) $x_1$

Для нахождения первого члена последовательности $x_1$ подставим в формулу значение $n=1$.

$x_1 = \frac{(-1)^1 + 2}{5} = \frac{-1 + 2}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) $x_{10}$

Для нахождения десятого члена последовательности $x_{10}$ подставим в формулу значение $n=10$.

$x_{10} = \frac{(-1)^{10} + 2}{5}$.

Поскольку 10 – четное число, $(-1)^{10} = 1$.

$x_{10} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

3) $x_{2k}$

Для нахождения члена последовательности с четным номером $2k$, где $k$ – натуральное число, подставим в формулу $n=2k$.

$x_{2k} = \frac{(-1)^{2k} + 2}{5}$.

Выражение $2k$ всегда представляет собой четное число. Степень $(-1)$ с четным показателем равна 1, то есть $(-1)^{2k} = 1$.

$x_{2k} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

4) $x_{2k-1}$

Для нахождения члена последовательности с нечетным номером $2k-1$, где $k$ – натуральное число, подставим в формулу $n=2k-1$.

$x_{2k-1} = \frac{(-1)^{2k-1} + 2}{5}$.

Выражение $2k-1$ всегда представляет собой нечетное число. Степень $(-1)$ с нечетным показателем равна -1, то есть $(-1)^{2k-1} = -1$.

$x_{2k-1} = \frac{-1 + 2}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

182. Найдите четыре первых члена последовательности ($a_n$), если:

1) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n - 3$;

2) $a_1 = 27, a_{n+1} = \frac{81}{a_n}$;

3) $a_1 = 0,1, a_2 = -0,1, a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}$;

4) $a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}^2$.

1)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 2$.

Для нахождения следующих членов используем рекуррентную формулу $a_{n+1} = a_n - 3$.

При $n=1$: $a_2 = a_1 - 3 = 2 - 3 = -1$.

При $n=2$: $a_3 = a_2 - 3 = -1 - 3 = -4$.

При $n=3$: $a_4 = a_3 - 3 = -4 - 3 = -7$.

Первые четыре члена последовательности: 2, -1, -4, -7.

Ответ: 2; -1; -4; -7.

2)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 27$.

Для нахождения следующих членов используем рекуррентную формулу $a_{n+1} = \frac{81}{a_n}$.

При $n=1$: $a_2 = \frac{81}{a_1} = \frac{81}{27} = 3$.

При $n=2$: $a_3 = \frac{81}{a_2} = \frac{81}{3} = 27$.

При $n=3$: $a_4 = \frac{81}{a_3} = \frac{81}{27} = 3$.

Первые четыре члена последовательности: 27, 3, 27, 3.

Ответ: 27; 3; 27; 3.

3)

По условию, даны первые два члена последовательности $a_1 = 0,1$ и $a_2 = -0,1$.

Для нахождения следующих членов используем рекуррентную формулу $a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}$.

При $n=1$: $a_3 = 3a_1 + a_2 = 3 \cdot 0,1 + (-0,1) = 0,3 - 0,1 = 0,2$.

При $n=2$: $a_4 = 3a_2 + a_3 = 3 \cdot (-0,1) + 0,2 = -0,3 + 0,2 = -0,1$.

Первые четыре члена последовательности: 0,1; -0,1; 0,2; -0,1.

Ответ: 0,1; -0,1; 0,2; -0,1.

4)

По условию, даны первые два члена последовательности $a_1 = 1$ и $a_2 = 1$.

Для нахождения следующих членов используем рекуррентную формулу $a_{n+2} = a_n + a_{n+1}^2$.

При $n=1$: $a_3 = a_1 + a_2^2 = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

При $n=2$: $a_4 = a_2 + a_3^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Первые четыре члена последовательности: 1, 1, 2, 5.

Ответ: 1; 1; 2; 5.