Номер 145, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Чтобы переместить груз из точки $A$ в точку $B$, его сначала поднимают по наклонной поверхности, а затем опускают также по наклонной поверхности, причём подъём происходит со скоростью на $2 \text{ м/с}$ большей, чем спуск. Длина пути, который проходит груз из точки $A$ в точку $B$, равна $120 \text{ м}$, и длится это перемещение $14 \text{ с}$. Если бы груз перемещали из точки $B$ в точку $A$, то перемещение длилось бы $13 \text{ с}$. Найдите скорость подъёма и скорость спуска груза.

Обозначим переменные:

• $v_{под}$ - скорость подъёма груза (м/с).
• $v_{сп}$ - скорость спуска груза (м/с).
• $s_1$ - длина участка подъёма при движении из точки A в точку B (м).
• $s_2$ - длина участка спуска при движении из точки A в точку B (м).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Скорость подъёма на 2 м/с больше скорости спуска:

$v_{под} = v_{сп} + 2$

2. Общая длина пути из A в B равна 120 м:

$s_1 + s_2 = 120$

3. Время движения из A в B составляет 14 секунд. Время равно отношению расстояния к скорости ($t = s/v$):

$\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{сп}} = 14$

4. При движении из B в A, участок, который был спуском ($s_2$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом ($s_1$), становится спуском. Общее время движения составляет 13 секунд:

$\frac{s_2}{v_{под}} + \frac{s_1}{v_{сп}} = 13$

Получаем систему из двух уравнений относительно времени:

$\begin{cases}\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{сп}} = 14 \\\frac{s_2}{v_{под}} + \frac{s_1}{v_{сп}} = 13\end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(\frac{s_1}{v_{под}} + \frac{s_2}{v_{под}}) + (\frac{s_2}{v_{сп}} + \frac{s_1}{v_{сп}}) = 14 + 13$

$\frac{s_1 + s_2}{v_{под}} + \frac{s_1 + s_2}{v_{сп}} = 27$

Вынесем общий множитель $(s_1 + s_2)$ за скобки:

$(s_1 + s_2) \cdot (\frac{1}{v_{под}} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Подставим известное значение $s_1 + s_2 = 120$:

$120 \cdot (\frac{1}{v_{под}} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Теперь подставим в это уравнение соотношение скоростей $v_{под} = v_{сп} + 2$:

$120 \cdot (\frac{1}{v_{сп} + 2} + \frac{1}{v_{сп}}) = 27$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$120 \cdot (\frac{v_{сп} + (v_{сп} + 2)}{v_{сп}(v_{сп} + 2)}) = 27$

$120 \cdot \frac{2v_{сп} + 2}{v_{сп}^2 + 2v_{сп}} = 27$

$120 \cdot 2(v_{сп} + 1) = 27(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

$240(v_{сп} + 1) = 27(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80(v_{сп} + 1) = 9(v_{сп}^2 + 2v_{сп})$

$80v_{сп} + 80 = 9v_{сп}^2 + 18v_{сп}$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$9v_{сп}^2 + 18v_{сп} - 80v_{сп} - 80 = 0$

$9v_{сп}^2 - 62v_{сп} - 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-62)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-80) = 3844 + 2880 = 6724$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82$.

Теперь найдем корни уравнения:

$v_{сп} = \frac{-(-62) \pm 82}{2 \cdot 9} = \frac{62 \pm 82}{18}$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком "плюс":

$v_{сп} = \frac{62 + 82}{18} = \frac{144}{18} = 8$ м/с.

Теперь найдем скорость подъёма:

$v_{под} = v_{сп} + 2 = 8 + 2 = 10$ м/с.

Ответ: скорость подъёма груза равна 10 м/с, а скорость спуска - 8 м/с.