Номер 140, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует $ \frac{3}{5} $ дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

Пусть время, за которое первая бригада может самостоятельно отремонтировать всю дорогу, равно $t_1$ часов, а время для второй бригады — $t_2$ часов. Тогда их производительности (часть работы в час) равны $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{1}{t_2}$ соответственно. Примем всю работу по ремонту дороги за 1 единицу.

Согласно первому условию, работая вместе, две бригады выполняют работу за 6 часов. Их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 6 = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, сначала первая бригада выполняет $\frac{3}{5}$ всей работы. Время, затраченное на это, составляет $T_1 = \frac{3/5}{1/t_1} = \frac{3}{5}t_1$ часов. Затем вторая бригада выполняет оставшуюся часть работы, которая равна $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$. Время, затраченное второй бригадой, составляет $T_2 = \frac{2/5}{1/t_2} = \frac{2}{5}t_2$ часов. Общее время выполнения работы по второму сценарию составляет 12 часов. Составим второе уравнение:

$\frac{3}{5}t_1 + \frac{2}{5}t_2 = 12$

Для удобства умножим обе части этого уравнения на 5:

$3t_1 + 2t_2 = 60$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ 3t_1 + 2t_2 = 60 \end{cases}$

Выразим $t_2$ из второго уравнения:

$2t_2 = 60 - 3t_1 \implies t_2 = \frac{60 - 3t_1}{2}$

Подставим полученное выражение для $t_2$ в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{\frac{60 - 3t_1}{2}} = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{t_1} + \frac{2}{60 - 3t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(60 - 3t_1)$:

$\frac{60 - 3t_1 + 2t_1}{t_1(60 - 3t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{60 - t_1}{60t_1 - 3t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используя правило пропорции, получаем:

$6(60 - t_1) = 60t_1 - 3t_1^2$

$360 - 6t_1 = 60t_1 - 3t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t_1^2 - 60t_1 - 6t_1 + 360 = 0$

$3t_1^2 - 66t_1 + 360 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$t_1^2 - 22t_1 + 120 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 22, а произведение — 120. Корнями являются числа 10 и 12.

Следовательно, у нас есть два возможных значения для $t_1$:

1. Если $t_1 = 10$ часов, то найдем соответствующее значение $t_2$:

$t_2 = \frac{60 - 3 \cdot 10}{2} = \frac{60 - 30}{2} = \frac{30}{2} = 15$ часов.

2. Если $t_1 = 12$ часов, то найдем соответствующее значение $t_2$:

$t_2 = \frac{60 - 3 \cdot 12}{2} = \frac{60 - 36}{2} = \frac{24}{2} = 12$ часов.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи. Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Первая бригада может отремонтировать дорогу за 10 часов, а вторая — за 15 часов. Либо обе бригады могут отремонтировать дорогу за 12 часов каждая.