Номер 134, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x - a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y| = 5? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x - a \end{cases}$

Данная система описывает пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом 2, и прямой с угловым коэффициентом 1. Количество решений системы равно количеству точек пересечения. Решим систему аналитически, методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - a)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 4$

$2x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений системы зависит от количества корней этого уравнения, которое, в свою очередь, определяется знаком дискриминанта $D$.

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 4) = 4a^2 - 8(a^2 - 4) = 4a^2 - 8a^2 + 32 = 32 - 4a^2$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, система не имеет решений.

$32 - 4a^2 < 0 \implies 4a^2 > 32 \implies a^2 > 8 \implies |a| > \sqrt{8} \implies |a| > 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$ решений нет.

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, следовательно, система имеет одно решение.

$32 - 4a^2 = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = \pm \sqrt{8} \implies a = \pm 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a = 2\sqrt{2}$ и $a = -2\sqrt{2}$ система имеет одно решение.

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, система имеет два решения.

$32 - 4a^2 > 0 \implies 4a^2 < 32 \implies a^2 < 8 \implies |a| < \sqrt{8} \implies |a| < 2\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ система имеет два решения.

Ответ: если $|a| < 2\sqrt{2}$, то система имеет два решения; если $|a| = 2\sqrt{2}$, то система имеет одно решение; если $|a| > 2\sqrt{2}$, то система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |y| = 5 \end{cases}$

Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$. Второе уравнение $|y| = 5$ эквивалентно двум горизонтальным прямым: $y=5$ и $y=-5$.

Подставим значение $y^2 = (\pm 5)^2 = 25$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + 25 = a^2$

$x^2 = a^2 - 25$

Количество решений этой системы зависит от количества действительных корней уравнения для $x$.

1. Если $a^2 - 25 < 0$, то уравнение для $x$ не имеет действительных корней.

$a^2 < 25 \implies |a| < 5$.

В этом случае система не имеет решений.

2. Если $a^2 - 25 = 0$, то уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$.

$a^2 = 25 \implies a = \pm 5$.

При $x=0$ из второго уравнения системы $|y|=5$ получаем два значения: $y=5$ и $y=-5$. Таким образом, система имеет два решения: $(0, 5)$ и $(0, -5)$.

3. Если $a^2 - 25 > 0$, то уравнение $x^2 = a^2 - 25$ имеет два различных действительных корня: $x = \sqrt{a^2 - 25}$ и $x = -\sqrt{a^2 - 25}$.

$a^2 > 25 \implies |a| > 5$.

Для каждого из этих двух значений $x$ существуют два значения $y$ ($y=5$ и $y=-5$). Следовательно, система имеет четыре решения:

$(\sqrt{a^2 - 25}, 5)$, $(-\sqrt{a^2 - 25}, 5)$, $(\sqrt{a^2 - 25}, -5)$, $(-\sqrt{a^2 - 25}, -5)$.

Ответ: если $|a| < 5$, то система не имеет решений; если $|a| = 5$, то система имеет два решения; если $|a| > 5$, то система имеет четыре решения.