Номер 128, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 3 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 5 - 2x^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = 3 - x^2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 6, \\ y = \frac{1}{3}x^2 - 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4, \\ y = 4 - 3x^2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} |y| = x, \\ y = -x^2 + 2x + 3. \end{cases}$

1) Для определения количества решений системы построим графики каждого уравнения в одной системе координат.
График первого уравнения $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат. Область определения: $x \ge 0$.
График второго уравнения $y = 3 - x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 3) и (3, 0).
При построении видно, что графики пересекаются в одной точке.
Ответ: 1

2) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $y = x^2 + 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 2).
График второго уравнения $y = 5 - 2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 5).
Так как одна парабола открывается вверх, а другая — вниз, и вершина второй параболы находится выше вершины первой, графики пересекутся в двух точках, симметричных относительно оси OY.
Ответ: 2

3) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $x^2 + y^2 = 9$ — это окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
График второго уравнения $y = 3 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 3).
Вершина параболы (0, 3) лежит на окружности. Поскольку ветви параболы направлены вниз (внутрь окружности), она пересечет окружность еще в двух точках, симметричных относительно оси OY. Всего получается три точки пересечения.
Ответ: 3

4) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$, — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.
График второго уравнения $y = \frac{1}{3}x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, -4).
Ветвь гиперболы в третьей четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) и левая ветвь параболы (где $x < 0$) не пересекаются, так как парабола при $x < 0$ всегда находится выше, чем ветвь гиперболы.
Ветвь гиперболы в первой четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) и правая ветвь параболы (где $x > 0$) пересекаются в одной точке.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: 1

5) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в точке (2, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Окружность касается оси OY в точке (0,0) и расположена в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
График второго уравнения $y = 4 - 3x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 4).
Поскольку окружность находится в правой полуплоскости, нас интересует пересечение с правой ветвью параболы. Вершина параболы (0, 4) находится "над" окружностью. Ветви параболы идут вниз и пересекают окружность в двух точках.
Ответ: 2

6) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $|y| = x$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x \ge 0$. График представляет собой "уголок", открытый вправо.
График второго уравнения $y = -x^2 + 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -1^2 + 2(1) + 3 = 4$. Вершина: (1, 4).
Парабола пересекает луч $y = x$ в одной точке в первой четверти.
Парабола пересекает луч $y = -x$ в одной точке в четвертой четверти.
Всего получается две точки пересечения.
Ответ: 2