Номер 127, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = -8, \\ x + y = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3, \\ y = x - 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x + y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = -x - 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 5, \\ x - 2y + 2 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}$

1) Для решения системы $ \begin{cases} xy = -8 \\ x + y = -2 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $xy = -8$, можно представить в виде функции $y = -8/x$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. Для построения графика найдем несколько точек:

• при $x=2$, $y=-4$;
• при $x=4$, $y=-2$;
• при $x=-2$, $y=4$;
• при $x=-4$, $y=2$.

Второе уравнение, $x + y = -2$, можно представить в виде функции $y = -x - 2$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат:

• при $x=0$, $y=-2$ (точка (0, -2));
• при $y=0$, $x=-2$ (точка (-2, 0)).

Построив оба графика, найдем их точки пересечения. Эти точки и являются решениями системы. Из графика видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(2, -4)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(-4, 2)$.

2) Для решения системы $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 3 \end{cases} $ построим графики параболы и прямой.

Графиком первого уравнения $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, $y_в = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Графиком второго уравнения $y = x - 3$ является прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=-3$ (точка (0, -3));
• при $x=3$, $y=0$ (точка (3, 0)).

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения графиков — это $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(3, 0)$.

3) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} $ преобразуем уравнения и построим их графики.

Первое уравнение можно записать как $y = x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$.

Второе уравнение можно записать как $y = -x + 4$. Это прямая. Для ее построения найдем точки пересечения с осями:

• при $x=0$, $y=4$ (точка (0, 4));
• при $y=0$, $x=4$ (точка (4, 0)).

Построив параболу и прямую, находим их точки пересечения. По графику видно, что это точки $(2, 2)$ и $(-3, 7)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-3, 7)$.

4) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = -x - 1 \end{cases} $ построим графики окружности и прямой.

Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Уравнение $y = -x - 1$ задает прямую. Построим ее по двум точкам, например, по точкам пересечения с осями:

• при $x=0$, $y=-1$ (точка (0, -1));
• при $y=0$, $x=-1$ (точка (-1, 0)).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Их координаты: $(3, -4)$ и $(-4, 3)$.

Ответ: $(3, -4)$, $(-4, 3)$.

5) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + (y-1)^2 = 5 \\ x - 2y + 2 = 0 \end{cases} $ построим графики окружности и прямой.

Уравнение $x^2 + (y-1)^2 = 5$ задает окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{5} \approx 2.24$.

Уравнение $x - 2y + 2 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x + 1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=1$ (точка (0, 1));
• при $x=-2$, $y=0$ (точка (-2, 0)).

Построим окружность и прямую. Заметим, что прямая проходит через центр окружности. Точки пересечения легко находятся из графика: $(-2, 0)$ и $(2, 2)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(2, 2)$.

6) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $ построим графики окружности и гиперболы.

Уравнение $x^2 + y^2 = 10$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Уравнение $xy = 3$ можно переписать в виде $y = 3/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• при $x=1$, $y=3$;
• при $x=3$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-3$;
• при $x=-3$, $y=-1$.

Построим графики в одной системе координат. Окружность и гипербола пересекаются в четырех точках. Их координаты: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.