Номер 148, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Из городов $M$ и $N$ одновременно навстречу друг другу отправились два автомобиля. Первый автомобиль прибыл в $N$ через 48 мин после встречи, а второй в $M$ — через 1 ч 15 мин после встречи. За какое время каждый автомобиль проедет расстояние между $M$ и $N$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ и $T_1$ – скорость и общее время в пути первого автомобиля (из M в N).
• $v_2$ и $T_2$ – скорость и общее время в пути второго автомобиля (из N в M).
• $S$ – расстояние между городами M и N.
• $t_{встречи}$ – время от начала движения до момента встречи автомобилей.

По условию, после встречи первый автомобиль прибыл в пункт N через $t_1 = 48$ минут. Второй автомобиль прибыл в пункт M через $t_2 = 1$ час $15$ минут. Переведем $t_2$ в минуты для удобства расчетов: $t_2 = 1 \cdot 60 + 15 = 75$ минут.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{встречи}$, а второй – $S_2 = v_2 \cdot t_{встречи}$.

После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, на что он потратил время $t_1$. Следовательно, $S_2 = v_1 \cdot t_1$.

Второму автомобилю после встречи осталось проехать расстояние $S_1$, на что он потратил время $t_2$. Следовательно, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_2 \cdot t_{встречи} = v_1 \cdot t_1$
$v_1 \cdot t_{встречи} = v_2 \cdot t_2$

Чтобы найти время до встречи $t_{встречи}$, перемножим левые и правые части этих двух уравнений:
$(v_2 \cdot t_{встречи}) \cdot (v_1 \cdot t_{встречи}) = (v_1 \cdot t_1) \cdot (v_2 \cdot t_2)$
$v_1 v_2 \cdot t_{встречи}^2 = v_1 v_2 \cdot t_1 t_2$
Разделив обе части на $v_1 v_2$ (скорости не равны нулю), получим:
$t_{встречи}^2 = t_1 \cdot t_2$
Отсюда $t_{встречи} = \sqrt{t_1 \cdot t_2}$.

Подставим числовые значения $t_1$ и $t_2$:
$t_{встречи} = \sqrt{48 \cdot 75} = \sqrt{3600} = 60$ минут.

Теперь, зная время до встречи, мы можем найти полное время в пути для каждого автомобиля.

Время, за которое первый автомобиль проедет расстояние между M и N
Полное время $T_1$ состоит из времени до встречи и времени после встречи:
$T_1 = t_{встречи} + t_1 = 60 + 48 = 108$ минут.
Переведем это время в часы и минуты: $108$ мин = $1$ час $48$ минут.
Ответ: 1 час 48 минут.

Время, за которое второй автомобиль проедет расстояние между M и N
Полное время $T_2$ также состоит из времени до встречи и времени после встречи:
$T_2 = t_{встречи} + t_2 = 60 + 75 = 135$ минут.
Переведем это время в часы и минуты: $135$ мин = $2$ часа $15$ минут.
Ответ: 2 часа 15 минут.