Номер 153, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Вкладчик положил в банк 40 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а во второй год банковский процент был уменьшен на 6 %. В конце второго года на счёте оказалось 45 760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть $x$ — это процентная ставка в первый год. Тогда размер вклада через год увеличится в $(1 + \frac{x}{100})$ раз.

Во второй год процентная ставка была уменьшена на 6 процентных пунктов и составила $(x - 6)$ %. Размер вклада за второй год увеличится в $(1 + \frac{x-6}{100})$ раз.

Начальная сумма вклада составляла 40 000 рублей. Через два года сумма на счёте стала 45 760 рублей. Можем составить уравнение, отражающее изменение суммы вклада за два года:

$40000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-6}{100}) = 45760$

Разделим обе части уравнения на 40000:

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-6}{100}) = \frac{45760}{40000}$

$(\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x-6}{100}) = 1.144$

$\frac{(100+x)(94+x)}{10000} = 1.144$

Умножим обе части уравнения на 10000, чтобы избавиться от знаменателя:

$(100+x)(94+x) = 11440$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$9400 + 100x + 94x + x^2 = 11440$

Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 194x + 9400 - 11440 = 0$

$x^2 + 194x - 2040 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 194^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2040) = 37636 + 8160 = 45796$

Найдём корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{45796} = 214$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-194 + 214}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-194 - 214}{2} = \frac{-408}{2} = -204$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -204$ не является решением задачи. Следовательно, процентная ставка в первый год составляла 10%.

Проверим решение:

1. Сумма после первого года при ставке 10%: $40000 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 40000 \cdot 1.1 = 44000$ р.

2. Ставка во второй год: $10\% - 6\% = 4\%$.

3. Итоговая сумма после второго года: $44000 \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 44000 \cdot 1.04 = 45760$ р.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 10%.