Номер 154, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть $x$ кг — первоначальная масса водно-солевого раствора.

Масса соли в растворе составляет 4 кг. Тогда первоначальная концентрация соли в растворе равна $C_1 = \frac{4}{x}$.

После того как 4 кг воды испарилось, масса раствора стала $(x - 4)$ кг. Масса соли при этом не изменилась и осталась равной 4 кг. Новая концентрация соли в растворе стала $C_2 = \frac{4}{x - 4}$.

По условию задачи, новая концентрация соли на 5% больше первоначальной. Переведем проценты в десятичную дробь: $5\% = 0.05$. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 0.05.

Составим уравнение:

$C_2 - C_1 = 0.05$

$\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x} = 0.05$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{4x - 4(x - 4)}{x(x - 4)} = 0.05$

$\frac{4x - 4x + 16}{x^2 - 4x} = 0.05$

$\frac{16}{x^2 - 4x} = 0.05$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $(x^2 - 4x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$ (что очевидно, так как масса раствора не может быть нулевой или равной массе испарившейся воды).

$16 = 0.05(x^2 - 4x)$

Разделим обе части на 0.05 (что то же самое, что умножить на 20):

$16 / 0.05 = x^2 - 4x$

$320 = x^2 - 4x$

Получили квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 320 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 \pm 36}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Второй корень:

$x_2 = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как масса раствора не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит. Следовательно, первоначальная масса раствора была 20 кг.

Проверка:
Первоначальная концентрация: $\frac{4}{20} = 0.2$ или 20%.
Масса раствора после испарения: $20 - 4 = 16$ кг.
Новая концентрация: $\frac{4}{16} = 0.25$ или 25%.
Разница в концентрациях: $25\% - 20\% = 5\%$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 20 кг.