Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 6 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Рис. 6

а

б

B

График а

1) нули функции;
Нулями функции называются значения аргумента (x), при которых значение функции (y) равно нулю. Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.
Из графика видно, что он пересекает ось Ox в точках $x = -2$, $x = 1$ и $x = 3$.
Ответ: -2; 1; 3.

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные;
Значения функции отрицательны на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси абсцисс (Ox).
На графике (а) это происходит на двух промежутках: от минус бесконечности до -2 и от 1 до 3.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 3)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Функция возрастает, когда ее график идет вверх (при движении слева направо), и убывает, когда график идет вниз. Точки, где направление движения меняется, называются точками экстремума. На данном графике локальный минимум достигается при $x = -1$, а локальный максимум — при $x = 2$.
Промежутки убывания: от минус бесконечности до точки минимума и от точки максимума до плюс бесконечности.
Промежуток возрастания: от точки минимума до точки максимума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 2]$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$.

График б

1) нули функции;
Находим абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.
График пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 4$.
Ответ: -2; 4.

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные;
График функции расположен ниже оси Ox на интервале между его нулями.
Это интервал от -2 до 4.
Ответ: $x \in (-2; 4)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Данный график является параболой, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума. Абсцисса вершины находится посередине между нулями: $x = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.
Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

График в

1) нули функции;
Находим абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.
График пересекает ось Ox в точках $x = -5$, $x = -3$ и $x = 0$.
Ответ: -5; -3; 0.

2) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные;
График функции находится ниже оси Ox на интервале между $x = -5$ и $x = -3$, а также на интервале от $x = 0$ до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
На графике видна вертикальная асимптота $x = -1$, в которой функция не определена. Точки локальных минимумов находятся при $x = -4$ и $x = 1$.
Функция убывает от минус бесконечности до первого минимума ($x = -4$) и от вертикальной асимптоты ($x=-1$) до второго минимума ($x = 1$).
Функция возрастает от первого минимума ($x = -4$) до вертикальной асимптоты ($x=-1$) и от второго минимума ($x = 1$) до плюс бесконечности.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -1)$ и $[1; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $(-1; 1]$.