Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 2x - 17$;

2) $f(x) = \frac{3}{x+2}$;

3) $f(x) = \frac{x-7}{2}$;

4) $f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$;

5) $f(x) = \sqrt{3+x}$;

6) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$;

7) $f(x) = \frac{x}{x^2-3}$;

8) $f(x) = \frac{16}{x^2+16}$;

9) $f(x) = \frac{6x+19}{3x+x^2}$;

10) $f(x) = \frac{x+3}{|x|-5}$;

11) $f(x) = \frac{4}{|x|+6}$;

12) $f(x) = \frac{17}{|x|-x^2}$;

13) $f(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{2-x}$;

14) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$;

15) $f(x) = \sqrt{x-4} + \sqrt{4-x}$;

16) $f(x) = \sqrt{x-3} - \frac{x-2}{\sqrt{2-x}}$;

17) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{x-12}{x^2-16}$;

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+5}} + \frac{2x-3}{x^2-x-12}$.

1) $f(x) = 2x - 17$

Данная функция является линейной (многочленом первой степени). Область определения любого многочлена – все действительные числа, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{3}{x+2}$

Данная функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) $f(x) = \frac{x-7}{2}$

Данная функция является линейной, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$. Знаменатель является константой и не равен нулю. Область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $2x+3 \neq 0$, откуда $2x \neq -3$ и $x \neq -1.5$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{3+x}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, $3+x \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Ответ: $D(f) = [-3; +\infty)$.

6) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным. Таким образом, $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.

Ответ: $D(f) = (3; +\infty)$.

7) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $x^2 - 3 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 3$, то есть $x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

8) $f(x) = \frac{16}{x^2 + 16}$

Знаменатель дроби $x^2 + 16$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 16 \ge 16$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

9) $f(x) = \frac{6x + 19}{3x + x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Решим уравнение $3x + x^2 = 0 \implies x(3+x) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=-3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

10) $f(x) = \frac{x+3}{|x|-5}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $|x|-5 \neq 0$, откуда $|x| \neq 5$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

11) $f(x) = \frac{4}{|x|+6}$

Знаменатель дроби $|x|+6$ не должен быть равен нулю. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x|+6 \ge 6$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

12) $f(x) = \frac{17}{|x|-x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Решим уравнение $|x|-x^2 = 0$.
При $x \ge 0$, имеем $x - x^2 = 0 \implies x(1-x)=0$, откуда $x=0$ или $x=1$.
При $x < 0$, имеем $-x - x^2 = 0 \implies -x(1+x)=0$, откуда $x=-1$.
Исключаем значения $x = -1, 0, 1$ из области определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

13) $f(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{2-x}$

Область определения функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $D(f) = [-2; 2]$.

14) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$

Область определения функции является пересечением областей определения слагаемых. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x-10 \neq 0 \implies x \neq 10$
Объединяя условия, получаем $x \ge 1$ и $x \neq 10$.

Ответ: $D(f) = [1; 10) \cup (10; +\infty)$.

15) $f(x) = \sqrt{x-4} + \sqrt{4-x}$

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x=4$.

Ответ: $D(f) = \{4\}$.

16) $f(x) = \sqrt{x-3} - \frac{x-2}{\sqrt{2-x}}$

Необходимо выполнение двух условий: выражение под первым корнем должно быть неотрицательным, а выражение под вторым корнем (в знаменателе) — строго положительным. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2-x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 2 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 3 и меньше 2. Область определения пуста.

Ответ: $D(f) = \emptyset$.

17) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{x-12}{x^2-16}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
$x^2-16 \neq 0 \implies x^2 \neq 16 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Пересечением условий $x \ge 4$ и $x \neq 4$ является строгое неравенство $x > 4$.

Ответ: $D(f) = (4; +\infty)$.

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+5}} + \frac{2x-3}{x^2-x-12}$

Для первого слагаемого: выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным ($x+2 \ge 0$), а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным ($x+5 > 0$).
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x > -5 \end{cases} \implies x \ge -2$.
Для второго слагаемого: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2-x-12 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2-x-12=0$. По теореме Виета $x_1=4, x_2=-3$.
Итак, $x \neq 4$ и $x \neq -3$.
Объединяя все условия ($x \ge -2$, $x \neq 4$, $x \neq -3$), получаем, что $x \ge -2$ и $x \neq 4$ (условие $x \neq -3$ выполняется автоматически, так как $-3 < -2$).

Ответ: $D(f) = [-2; 4) \cup (4; +\infty)$.

68. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x - 1};$

3) $f(x) = 2 - x^2;$

4) $f(x) = x^2 + 3;$

5) $f(x) = |x| + 1;$

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - 3;$

7) $f(x) = \sqrt{-|x|};$

8) $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}.$

1) Областью значений функции $y = \sqrt{x}$ является промежуток $[0; +\infty)$, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{x} + 3$, прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\sqrt{x} + 3 \ge 0 + 3$

$f(x) \ge 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 3.

Ответ: $E(f) = [3; +\infty)$.

2) Значения функции $y = \sqrt{x}$ неотрицательны, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства, чтобы найти область значений для $f(x) = \sqrt{x} - 1$:

$\sqrt{x} - 1 \ge 0 - 1$

$f(x) \ge -1$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.

Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

3) Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-x^2 \le 0$

Теперь прибавим 2 к обеим частям:

$2 - x^2 \le 2$

$f(x) \le 2$

Это означает, что функция принимает значения, не превышающие 2.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 2]$.

4) Поскольку $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), мы можем найти наименьшее значение функции.

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$x^2 + 3 \ge 0 + 3$

$f(x) \ge 3$

Следовательно, область значений функции начинается с 3 и включает все большие числа.

Ответ: $E(f) = [3; +\infty)$.

5) Модуль любого числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$|x| + 1 \ge 0 + 1$

$f(x) \ge 1$

Область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

6) Сначала оценим выражение под корнем. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку подкоренное выражение всегда больше или равно 1, корень из него будет больше или равен $\sqrt{1}$:

$\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$.

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x^2 + 1} - 3 \ge 1 - 3$

$f(x) \ge -2$

Область значений функции состоит из всех чисел, больших или равных -2.

Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

7) Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-|x| \ge 0$.

Мы знаем, что модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Умножая на -1, получаем $-|x| \le 0$.

Таким образом, мы имеем два условия: $-|x| \ge 0$ и $-|x| \le 0$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это 0. Следовательно, $-|x| = 0$, что возможно только при $x = 0$.

Область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой точке:

$f(0) = \sqrt{-|0|} = \sqrt{0} = 0$.

Так как функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) Найдем область определения функции. Для этого выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решаем ее:

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases}$

Единственное число, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 1, — это $x=1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=1$. Вычислим значение функции в этой точке:

$f(1) = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$.

Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит только из этого значения.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 5 + \frac{1}{3}x;$

2) $f(x) = -3x;$

3) $f(x) = -2;$

4) $f(x) = -\frac{4}{x}.$

Функция $f(x) = 5 + \frac{1}{3}x$ является линейной, ее график — прямая линия. Данный вид функции можно записать как $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$ и свободный член $b = 5$. Так как $k > 0$, функция возрастающая. График пересекает ось ординат в точке $(0, 5)$. Для построения прямой найдем еще одну точку — точку пересечения с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю: $5 + \frac{1}{3}x = 0$, откуда $\frac{1}{3}x = -5$, и $x = -15$. Таким образом, вторая точка — $(-15, 0)$. Для построения графика необходимо отметить точки $(0, 5)$ и $(-15, 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-15, 0)$.

Функция $f(x) = -3x$ является прямой пропорциональностью, ее график — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей, а ее график расположен во второй и четвертой координатных четвертях. Для построения прямой найдем еще одну точку. Пусть $x = 1$, тогда $f(1) = -3 \cdot 1 = -3$. Вторая точка — $(1, -3)$. Для построения графика нужно отметить точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, -3)$.

Функция $f(x) = -2$ является постоянной функцией (константой). Ее график — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси X). Для любого значения аргумента $x$ значение функции постоянно и равно $-2$. Эта прямая проходит через точку $(0, -2)$ на оси ординат.
Ответ: Графиком является горизонтальная прямая $y = -2$, проходящая через точку $(0, -2)$ и параллельная оси X.

Функция $f(x) = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Коэффициент $k = -4$. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат, то есть график бесконечно приближается к осям, но не пересекает их. Для построения графика найдем несколько контрольных точек для каждой ветви.
Для второй четверти ($x < 0$): при $x=-4, y=1$; при $x=-2, y=2$; при $x=-1, y=4$.
Для четвертой четверти ($x > 0$): при $x=1, y=-4$; при $x=2, y=-2$; при $x=4, y=-1$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями в каждой четверти, получим искомый график.
Ответ: Графиком является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. График проходит через точки $(-4, 1)$, $(-2, 2)$, $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(2, -2)$, $(4, -1)$.