Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \le -3 \\ 2x + 7, & \text{если } -3 < x \le -1 \\ 2x^2 + 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

Найдите:

1) $f(-3,01)$;

2) $f(-3)$;

3) $f(-2,5)$;

4) $f(0)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для вычисления её значения в определенной точке $x$ сначала необходимо определить, какому из трех заданных промежутков принадлежит эта точка, а затем использовать соответствующую формулу.

Чтобы найти значение функции $f(-3,01)$, нужно определить, какому из интервалов, заданных в условии, принадлежит значение $x = -3,01$.

Проверяем первое условие: $x \le -3$. Так как $-3,01 < -3$, это условие выполняется. Следовательно, для вычисления значения функции мы используем первую формулу: $f(x) = 1$.

$f(-3,01) = 1$.

Ответ: 1

Чтобы найти значение функции $f(-3)$, нужно определить, какому из интервалов принадлежит значение $x = -3$.

Проверяем первое условие: $x \le -3$. Так как $-3 = -3$, это условие выполняется (неравенство нестрогое). Значит, мы снова используем первую формулу: $f(x) = 1$.

$f(-3) = 1$.

Ответ: 1

Чтобы найти значение функции $f(-2,5)$, нужно определить, какому из интервалов принадлежит значение $x = -2,5$.

Первое условие $x \le -3$ не выполняется, так как $-2,5 > -3$.

Проверяем второе условие: $-3 < x \le -1$. Это условие выполняется, так как $-3 < -2,5$ и $-2,5 \le -1$. Значит, мы используем вторую формулу: $f(x) = 2x + 7$.

Подставляем $x = -2,5$ в формулу:

$f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) + 7 = -5 + 7 = 2$.

Ответ: 2

Чтобы найти значение функции $f(0)$, нужно определить, какому из интервалов принадлежит значение $x = 0$.

Первое условие $x \le -3$ не выполняется, так как $0 > -3$.

Второе условие $-3 < x \le -1$ не выполняется, так как $0 > -1$.

Проверяем третье условие: $x > -1$. Это условие выполняется, так как $0 > -1$. Значит, мы используем третью формулу: $f(x) = 2x^2 + 3$.

Подставляем $x = 0$ в формулу:

$f(0) = 2 \cdot 0^2 + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

65. При каком значении $x$ значение функции $f(x)=\frac{x^2+7}{x+1}$ равно 4?

Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $f(x) = \frac{x^2+7}{x+1}$ равно 4, необходимо решить уравнение $f(x) = 4$.

Подставим выражение для функции в уравнение:

$\frac{x^2+7}{x+1} = 4$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x+1 \neq 0$

$x \neq -1$

Теперь решим уравнение. Для этого умножим обе его части на $(x+1)$, при условии, что $x \neq -1$:

$x^2+7 = 4(x+1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2+7 = 4x+4$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 4x + 7 - 4 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Оба корня, $x=1$ и $x=3$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: 1; 3.

66. На рисунке 5 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-3.5)$; $f(-2)$; $f(0)$; $f(1.5)$; $f(3)$; $f(4.5)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -1.5$; $f(x) = 1.5$; $f(x) = 3$; $f(x) = 0$;

3) область значений функции.

Рис. 5

1) $f(-3,5); f(-2); f(0); f(1,5); f(3); f(4,5);$

Для нахождения значения функции по графику для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) данное значение, провести вертикальную линию до пересечения с графиком и от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси $y$). Полученное значение на оси $y$ является значением функции.
- Для $x = -3,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-1$. Следовательно, $f(-3,5) = -1$.
- Для $x = -2$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-2$. Следовательно, $f(-2) = -2$.
- Для $x = 0$ график пересекает ось ординат в точке $y=3$. Следовательно, $f(0) = 3$.
- Для $x = 1,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $3,5$. Следовательно, $f(1,5) = 3,5$.
- Для $x = 3$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-1,5$. Следовательно, $f(3) = -1,5$.
- Для $x = 4,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $1,5$. Следовательно, $f(4,5) = 1,5$.

Ответ: $f(-3,5) = -1$; $f(-2) = -2$; $f(0) = 3$; $f(1,5) = 3,5$; $f(3) = -1,5$; $f(4,5) = 1,5$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = -1,5; f(x) = 1,5; f(x) = 3; f(x) = 0$;

Чтобы найти значения $x$, соответствующие заданному значению функции $f(x) = y$, нужно найти на оси ординат данное значение $y$, провести горизонтальную линию и найти абсциссы всех точек пересечения этой линии с графиком.
- При $f(x) = -1,5$: проводим горизонтальную прямую $y = -1,5$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x \approx -2,6$, $x \approx -1,4$ и $x = 3$.
- При $f(x) = 1,5$: проводим горизонтальную прямую $y = 1,5$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x \approx -0,75$, $x \approx 2,1$ и $x = 4,5$.
- При $f(x) = 3$: проводим горизонтальную прямую $y = 3$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x = 0$, $x \approx 1,75$ и $x = 5$.
- При $f(x) = 0$: ищем точки пересечения графика с осью абсцисс ($y=0$). Это происходит в точках с абсциссами: $x = -3$, $x = 2,5$ и $x = 4$.

Ответ: $f(x) = -1,5$ при $x \approx -2,6$, $x \approx -1,4$, $x = 3$; $f(x) = 1,5$ при $x \approx -0,75$, $x \approx 2,1$, $x = 4,5$; $f(x) = 3$ при $x = 0$, $x \approx 1,75$, $x = 5$; $f(x) = 0$ при $x = -3$, $x = 2,5$, $x = 4$.

3) область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на всей области определения функции. Чтобы найти ее по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции (минимальную и максимальную ординату на графике) на заданном промежутке $x \in [-4; 5]$.
- Наименьшее значение функции (глобальный минимум) на данном промежутке достигается в точке $x = -2$ и равно $y_{min} = -2$.
- Наибольшее значение функции (глобальный максимум) на данном промежутке достигается в точке $x = 1$ и равно $y_{max} = 4$.
Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Таким образом, область значений функции — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $E(f) = [-2; 4]$.