Номер 214, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Найдите первый и девятый члены арифметической прогрессии, если её разность равна -4, а сумма двенадцати её первых членов равна 336.

Для решения задачи воспользуемся стандартными формулами для арифметической прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, $a_n$ — n-ый член, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

Из условия задачи нам известно:

• Разность прогрессии: $d = -4$
• Сумма первых двенадцати членов: $S_{12} = 336$

Нужно найти первый член ($a_1$) и девятый член ($a_9$).

Первый член

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n = 12$, $S_{12} = 336$ и $d = -4$.

$336 = \frac{2a_1 + (12-1)(-4)}{2} \cdot 12$

Сократим дробь, разделив 12 на 2:

$336 = (2a_1 + 11 \cdot (-4)) \cdot 6$

$336 = (2a_1 - 44) \cdot 6$

Теперь разделим обе части уравнения на 6:

$\frac{336}{6} = 2a_1 - 44$

$56 = 2a_1 - 44$

Перенесём -44 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$56 + 44 = 2a_1$

$100 = 2a_1$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = \frac{100}{2} = 50$

Ответ: первый член прогрессии равен 50.

Девятый член

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти девятый член ($a_9$), подставим в формулу значения $n=9$, найденный нами первый член $a_1=50$ и известную разность $d=-4$:

$a_9 = 50 + (9-1) \cdot (-4)$

$a_9 = 50 + 8 \cdot (-4)$

$a_9 = 50 - 32$

$a_9 = 18$

Ответ: девятый член прогрессии равен 18.