Номер 212, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 147 и при делении на 4 дают в остатке 1.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они меньше 147 и при делении на 4 дают в остатке 1.

Все числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1, можно представить в виде формулы $a_k = 4k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии, которые меньше 147.

Первый член прогрессии (при $k=0$) равен $a_1 = 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

Чтобы найти последний член, решим неравенство $a_k < 147$ относительно $k$:
$4k + 1 < 147$
$4k < 146$
$k < \frac{146}{4}$
$k < 36.5$

Максимальное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=36$. Соответствующий член прогрессии будет последним в нашей последовательности:
$a_{last} = 4 \cdot 36 + 1 = 144 + 1 = 145$.

Итак, мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, последним членом $a_n = 145$ и разностью $d = 4$.

Теперь найдем количество членов в этой прогрессии. Поскольку $k$ принимает значения от 0 до 36 включительно, общее количество членов $n$ равно $36 - 0 + 1 = 37$.

Сумму арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Подставим наши значения $a_1 = 1$, $a_n = 145$ и $n = 37$:
$S_{37} = \frac{(1 + 145) \cdot 37}{2} = \frac{146 \cdot 37}{2} = 73 \cdot 37 = 2701$.

Ответ: 2701