Номер 205, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 6, a_{13} = 42;$

2) $a_6 = 45, a_{14} = -43.$

1) $a_1 = 6, a_{13} = 42$;
Для нахождения суммы десяти первых членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.
Первый член $a_1 = 6$ нам известен. Найдем разность прогрессии $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и данные для $a_{13}$:
$a_{13} = a_1 + (13-1)d$
Подставим известные значения:
$42 = 6 + 12d$
$12d = 42 - 6$
$12d = 36$
$d = \frac{36}{12} = 3$.
Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d = 3$, можем вычислить сумму первых десяти членов $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot a_1 + (10-1) \cdot d)$
$S_{10} = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3)$
$S_{10} = 5(12 + 27)$
$S_{10} = 5 \cdot 39 = 195$.
Ответ: 195.

2) $a_6 = 45, a_{14} = -43$.
В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Мы можем найти их, составив систему уравнений на основе формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \implies a_1 + 5d = 45$.
Для $n=14$: $a_{14} = a_1 + (14-1)d \implies a_1 + 13d = -43$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a_1 + 5d = 45 \\ a_1 + 13d = -43 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 13d) - (a_1 + 5d) = -43 - 45$
$8d = -88$
$d = \frac{-88}{8} = -11$.
Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 5(-11) = 45$
$a_1 - 55 = 45$
$a_1 = 45 + 55 = 100$.
Теперь, когда мы знаем $a_1 = 100$ и $d = -11$, мы можем найти сумму первых десяти членов $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.
$S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 100 + (10-1) \cdot (-11))$
$S_{10} = 5(200 + 9 \cdot (-11))$
$S_{10} = 5(200 - 99)$
$S_{10} = 5 \cdot 101 = 505$.
Ответ: 505.