Номер 200, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. При каком значении $m$ значения выражений $3m$, $m^2 + 2$ и $m + 4$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $3m$, $m^2 + 2$ и $m + 4$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, любой её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов. Для трех последовательных членов $a_1, a_2, a_3$ это свойство можно записать как $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, или в виде $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применив это свойство к данным выражениям, составим и решим уравнение:
$2(m^2 + 2) = 3m + (m + 4)$
$2m^2 + 4 = 4m + 4$
$2m^2 - 4m = 0$
$2m(m - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $m_1 = 0$ и $m_2 = 2$. Теперь найдем члены прогрессии для каждого из найденных значений $m$.

При $m = 0$:
Подставим значение $m=0$ в исходные выражения:
Первый член: $3m = 3 \cdot 0 = 0$
Второй член: $m^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2$
Третий член: $m + 4 = 0 + 4 = 4$
Получаем последовательность 0, 2, 4. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 2$.
Ответ: при $m=0$ члены прогрессии: 0, 2, 4.

При $m = 2$:
Подставим значение $m=2$ в исходные выражения:
Первый член: $3m = 3 \cdot 2 = 6$
Второй член: $m^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$
Третий член: $m + 4 = 2 + 4 = 6$
Получаем последовательность 6, 6, 6. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $m=2$ члены прогрессии: 6, 6, 6.