Номер 197, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_4 + a_8 = 35$ и $a_3 + a_{21} = 65$;

2) $a_5 + a_9 = 42$ и $a_3 \cdot a_{10} = 165$.

1) Даны условия для арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_4 + a_8 = 35$ и $a_3 + a_{21} = 65$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим члены, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_8 = a_1 + 7d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_{21} = a_1 + 20d$

Подставим эти выражения в заданные уравнения, чтобы составить систему:
Уравнение 1: $(a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 35 \implies 2a_1 + 10d = 35$
Уравнение 2: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 20d) = 65 \implies 2a_1 + 22d = 65$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:
$2a_1 + 10d = 35$
$2a_1 + 22d = 65$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 10d) = 65 - 35$
$12d = 30$
$d = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 10(2.5) = 35$
$2a_1 + 25 = 35$
$2a_1 = 10$
$a_1 = 5$

Ответ: $a_1 = 5, d = 2.5$.

2) Даны условия для арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_5 + a_9 = 42$ и $a_3 \cdot a_{10} = 165$.

Используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_9 = a_1 + 8d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_{10} = a_1 + 9d$

Подставим выражения в первое уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 42$
$2a_1 + 12d = 42$
Разделив на 2, получим: $a_1 + 6d = 21$.
Отсюда можно выразить $a_1$: $a_1 = 21 - 6d$.

Теперь подставим выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 2d)(a_1 + 9d) = 165$
Заменим $a_1$ на $21 - 6d$:
$((21 - 6d) + 2d)((21 - 6d) + 9d) = 165$
$(21 - 4d)(21 + 3d) = 165$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:
$21 \cdot 21 + 21 \cdot 3d - 4d \cdot 21 - 4d \cdot 3d = 165$
$441 + 63d - 84d - 12d^2 = 165$
$441 - 21d - 12d^2 = 165$
$-12d^2 - 21d + 276 = 0$
Разделим уравнение на -3: $4d^2 + 7d - 92 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-92) = 49 + 1472 = 1521$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.
Находим два возможных значения для $d$:
$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-46}{8} = -\frac{23}{4} = -5.75$

Теперь для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$ по формуле $a_1 = 21 - 6d$.
Случай 1: Если $d = 4$, то $a_1 = 21 - 6(4) = 21 - 24 = -3$.
Случай 2: Если $d = -5.75$, то $a_1 = 21 - 6(-5.75) = 21 + 34.5 = 55.5$.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $a_1 = -3, d = 4$ или $a_1 = 55.5, d = -5.75$.