Номер 198, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = -8n - 1;$

2) $a_n = 5n^2 - 4n;$

3) $a_n = -4,4n;$

4) $a_n = 25 - 0,16n;$

5) $a_n = \frac{n-3}{n+2};$

6) $a_n = \frac{4-3n}{6}?$

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, называемым разностью прогрессии. Чтобы проверить, является ли заданная последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо найти разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами: $d = a_{n+1} - a_n$. Если полученное выражение является константой (не зависит от $n$), то последовательность является арифметической прогрессией. В противном случае — не является.

1) $a_n = -8n - 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -8(n+1) - 1 = -8n - 8 - 1 = -8n - 9$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-8n - 9) - (-8n - 1) = -8n - 9 + 8n + 1 = -8$.

Так как разность $d = -8$ является постоянным числом (не зависит от $n$), последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = -8 \cdot 1 - 1 = -9$.

Разность прогрессии $d = -8$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -9$, разность прогрессии $d = -8$.

2) $a_n = 5n^2 - 4n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5(n+1)^2 - 4(n+1) = 5(n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 = 5n^2 + 10n + 5 - 4n - 4 = 5n^2 + 6n + 1$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (5n^2 + 6n + 1) - (5n^2 - 4n) = 5n^2 + 6n + 1 - 5n^2 + 4n = 10n + 1$.

Так как разность $d = 10n + 1$ зависит от $n$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -4,4n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -4,4(n+1) = -4,4n - 4,4$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-4,4n - 4,4) - (-4,4n) = -4,4n - 4,4 + 4,4n = -4,4$.

Так как разность $d = -4,4$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = -4,4 \cdot 1 = -4,4$.

Разность прогрессии $d = -4,4$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -4,4$, разность прогрессии $d = -4,4$.

4) $a_n = 25 - 0,16n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 25 - 0,16(n+1) = 25 - 0,16n - 0,16$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (25 - 0,16n - 0,16) - (25 - 0,16n) = 25 - 0,16n - 0,16 - 25 + 0,16n = -0,16$.

Так как разность $d = -0,16$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = 25 - 0,16 \cdot 1 = 24,84$.

Разность прогрессии $d = -0,16$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 24,84$, разность прогрессии $d = -0,16$.

5) $a_n = \frac{n-3}{n+2}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{(n+1)-3}{(n+1)+2} = \frac{n-2}{n+3}$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{n-2}{n+3} - \frac{n-3}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2) - (n-3)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{(n^2 - 4) - (n^2 - 9)}{(n+3)(n+2)} = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$.

Так как разность $d = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$ зависит от $n$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{4-3n}{6}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{4-3(n+1)}{6} = \frac{4-3n-3}{6} = \frac{1-3n}{6}$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{1-3n}{6} - \frac{4-3n}{6} = \frac{(1-3n) - (4-3n)}{6} = \frac{1-3n-4+3n}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.

Так как разность $d = -1/2$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = \frac{4-3 \cdot 1}{6} = \frac{1}{6}$.

Разность прогрессии $d = -1/2$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{6}$, разность прогрессии $d = -\frac{1}{2}$.