Номер 191, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) 18, 14, 10, 6, ... ;

2) $2\frac{1}{6}$, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, ... ;

3) $a^4$, $5a^4$, $9a^4$, $13a^4$, ... ;

4) $10 - a$, $8 - a$, $6 - a$, $4 - a$, ... .

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1) Для прогрессии $18, 14, 10, 6, \dots$

Первый член $a_1 = 18$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 14 - 18 = -4$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$a_n = 18 + (n-1)(-4)$

Упростим выражение:

$a_n = 18 - 4n + 4$

$a_n = 22 - 4n$

Ответ: $a_n = 22 - 4n$.

2) Для прогрессии $2\frac{1}{6}, 2\frac{1}{3}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{2}{3}, \dots$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные, приведя их к общему знаменателю 6:

$a_1 = 2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$

$a_2 = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} = \frac{14}{6}$

Первый член $a_1 = \frac{13}{6}$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = \frac{14}{6} - \frac{13}{6} = \frac{1}{6}$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$a_n = \frac{13}{6} + (n-1)\frac{1}{6}$

Упростим выражение:

$a_n = \frac{13}{6} + \frac{n-1}{6} = \frac{13 + n - 1}{6} = \frac{n+12}{6}$

Ответ: $a_n = \frac{n+12}{6}$.

3) Для прогрессии $a^4, 5a^4, 9a^4, 13a^4, \dots$

Первый член (обозначим его $c_1$, чтобы не путать с параметром $a$) $c_1 = a^4$.

Найдем разность прогрессии: $d = c_2 - c_1 = 5a^4 - a^4 = 4a^4$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$c_n = c_1 + (n-1)d = a^4 + (n-1)4a^4$

Упростим выражение:

$c_n = a^4 + 4na^4 - 4a^4 = 4na^4 - 3a^4 = (4n-3)a^4$

Ответ: $c_n = (4n-3)a^4$.

4) Для прогрессии $10-a, 8-a, 6-a, 4-a, \dots$

Первый член (обозначим его $c_1$) $c_1 = 10-a$.

Найдем разность прогрессии: $d = c_2 - c_1 = (8-a) - (10-a) = 8-a-10+a = -2$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$c_n = c_1 + (n-1)d = (10-a) + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$c_n = 10-a -2n + 2 = 12 - 2n - a$

Ответ: $c_n = 12 - 2n - a$.