Номер 33, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Решите уравнение:

1) $|x+4| - x = 1;$

2) $|3x-1| + x = 2;$

3) $|x-2| + x = 8;$

4) $|x+2| - x = 6.$

1) $|x + 4| - x = 1$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, основанных на знаке выражения под знаком модуля.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + 4 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -4$.

В этом случае $|x + 4| = x + 4$. Подставим это в исходное уравнение:

$(x + 4) - x = 1$

$4 = 1$

Полученное равенство является неверным. Это означает, что на промежутке $x \geq -4$ решений нет.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + 4 < 0$, что эквивалентно $x < -4$.

В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. Подставим это в исходное уравнение:

$(-x - 4) - x = 1$

$-2x - 4 = 1$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень $x = -2.5$ рассматриваемому промежутку $x < -4$.

Поскольку $-2.5 > -4$, условие не выполняется. Следовательно, $x = -2.5$ не является решением.

Так как ни в одном из случаев мы не получили корней, удовлетворяющих соответствующим условиям, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $|3x - 1| + x = 2$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: $3x - 1 \geq 0$, то есть $x \geq \frac{1}{3}$.

В этом случае $|3x - 1| = 3x - 1$. Уравнение принимает вид:

$(3x - 1) + x = 2$

$4x - 1 = 2$

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \geq \frac{1}{3}$. Так как $\frac{3}{4} \geq \frac{1}{3}$ (или $0.75 \geq 0.33...$), условие выполняется, и $x = \frac{3}{4}$ является решением.

Случай 2: $3x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{3}$.

В этом случае $|3x - 1| = -(3x - 1) = -3x + 1$. Уравнение принимает вид:

$(-3x + 1) + x = 2$

$-2x + 1 = 2$

$-2x = 1$

$x = -\frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x < \frac{1}{3}$. Так как $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ (или $-0.5 < 0.33...$), условие выполняется, и $x = -\frac{1}{2}$ является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}$.

3) $|x - 2| + x = 8$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 2 \geq 0$, то есть $x \geq 2$.

При этом условии $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + x = 8$

$2x - 2 = 8$

$2x = 10$

$x = 5$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $x=5$ условию $x \geq 2$. Условие $5 \geq 2$ выполняется, значит, $x=5$ является корнем уравнения.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.

При этом условии $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + x = 8$

$2 = 8$

Получено неверное равенство, это означает, что на промежутке $x < 2$ решений нет.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $5$.

4) $|x + 2| - x = 6$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$.

В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Уравнение примет вид:

$(x + 2) - x = 6$

$2 = 6$

Получено неверное равенство, следовательно, на промежутке $x \geq -2$ решений нет.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение примет вид:

$(-x - 2) - x = 6$

$-2x - 2 = 6$

$-2x = 8$

$x = -4$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $x = -4$ условию $x < -2$. Условие $-4 < -2$ выполняется, следовательно, $x=-4$ является корнем уравнения.

Ответ: $-4$.