Номер 36, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Рассмотрим уравнение $(b - 3)x = b^2 - 9$. Это линейное уравнение вида $Ax=B$, где коэффициент при $x$ равен $A = b-3$, а свободный член $B = b^2 - 9$.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю, то есть $b-3 \neq 0$, откуда $b \neq 3$.

При $b \neq 3$ найдем корень уравнения:

$x = \frac{b^2 - 9}{b - 3} = \frac{(b-3)(b+3)}{b-3} = b+3$

По условию, этот корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$b+3 > 0 \implies b > -3$

Таким образом, для данного случая мы получили систему условий:

$\begin{cases} b \neq 3 \\ b > -3 \end{cases}$

Решением этой системы является объединение интервалов $b \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $b=3$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(3-3)x = 3^2 - 9 \implies 0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней, что не удовлетворяет условию о единственном корне.

Объединяя результаты анализа, приходим к выводу, что уравнение имеет единственный положительный корень при $b \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Рассмотрим уравнение $(5b^2 + 7b)x = b$. Это линейное уравнение вида $Ax=B$, где $A = 5b^2 + 7b$ и $B = b$.

Разложим коэффициент $A$ на множители: $A = b(5b+7)$.

Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент $A \neq 0$, то есть $b(5b+7) \neq 0$. Это равносильно системе условий $b \neq 0$ и $5b+7 \neq 0$, откуда $b \neq 0$ и $b \neq -7/5$.

При выполнении этих условий корень уравнения равен:

$x = \frac{b}{5b^2+7b} = \frac{b}{b(5b+7)} = \frac{1}{5b+7}$

Согласно условию задачи, корень должен быть положительным: $x > 0$.

$\frac{1}{5b+7} > 0$

Так как числитель дроби (1) положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы и знаменатель был положителен:

$5b+7 > 0 \implies 5b > -7 \implies b > -7/5$

Итак, мы имеем систему условий:

$\begin{cases} b \neq 0 \\ b \neq -7/5 \\ b > -7/5 \end{cases}$

Решением этой системы является объединение интервалов $b \in (-7/5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее рассмотрим случаи, когда коэффициент $A = 0$.

1. Если $b=0$, уравнение принимает вид:

$(5 \cdot 0^2 + 7 \cdot 0)x = 0 \implies 0 \cdot x = 0$

Уравнение имеет бесконечно много корней, что не соответствует условию задачи.

2. Если $b = -7/5$, уравнение принимает вид:

$(5(-7/5)^2 + 7(-7/5))x = -7/5 \implies 0 \cdot x = -7/5$

Это равенство неверно, так как $0 \neq -7/5$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Таким образом, единственное положительное решение существует только при $b \in (-7/5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-7/5; 0) \cup (0; +\infty)$.