Номер 12, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. При каком значении $x$ значения выражений $x + 2$, $5x$ и $15x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух крайних.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии:
$b_1 = x + 2$
$b_2 = 5x$
$b_3 = 15x$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии для трёх последовательных членов $b_1, b_2, b_3$ записывается как:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство данные выражения и решим полученное уравнение относительно $x$:
$(5x)^2 = (x + 2) \cdot (15x)$
$25x^2 = 15x(x + 2)$
$25x^2 = 15x^2 + 30x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 15x^2 - 30x = 0$
$10x^2 - 30x = 0$

Вынесем общий множитель $10x$ за скобки:
$10x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных решения:
1) $10x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Проверим оба найденных значения:

1. Если $x = 0$, то члены последовательности равны:
$b_1 = 0 + 2 = 2$
$b_2 = 5 \cdot 0 = 0$
$b_3 = 15 \cdot 0 = 0$
Мы получили последовательность $2, 0, 0$. Это является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0}{2} = 0$.

2. Если $x = 3$, то члены последовательности равны:
$b_1 = 3 + 2 = 5$
$b_2 = 5 \cdot 3 = 15$
$b_3 = 15 \cdot 3 = 45$
Мы получили последовательность $5, 15, 45$. Это является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{15}{5} = \frac{45}{15} = 3$.

Оба значения $x$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $x=0$ или $x=3$.