Номер 6, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{5}$, а её знаменатель равен $-\frac{1}{3}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

Окончание предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

1) $\frac{9}{20}$

2) $\frac{9}{10}$

3) $\frac{8}{15}$

4) $\frac{7}{15}$

5) $\frac{1}{15}$

По условию задачи, дана бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \frac{3}{5}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для нахождения третьего члена (n=3) подставим известные значения в формулу: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{3}{5} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$. Этот результат соответствует варианту ответа 5).
Ответ: 5

При решении пункта Б с заданными в условии значениями ($b_1=\frac{3}{5}$ и $q=\frac{1}{3}$) получается сумма первых трёх членов $S_3 = \frac{13}{15}$, которой нет среди вариантов ответа. Это указывает на вероятную опечатку в условии. Если предположить, что знаменатель прогрессии на самом деле равен $q = -\frac{1}{3}$, то все пункты задания получают однозначное соответствие среди предложенных вариантов. Проведем дальнейшие вычисления с учетом этого предположения.

Примем, что $q = -\frac{1}{3}$. Найдем первые три члена прогрессии:

• Первый член: $b_1 = \frac{3}{5}$
• Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{5}$
• Третий член: $b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{15}$

Теперь найдем их сумму $S_3$: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$. Этот результат соответствует варианту ответа 4).
Ответ: 4

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при $|q|<1$) находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим $b_1 = \frac{3}{5}$ и наше предположенное значение $q = -\frac{1}{3}$: $S = \frac{\frac{3}{5}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{3}{5}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$. Этот результат соответствует варианту ответа 1).
Ответ: 1