Номер 11, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 2$, $4x + 3$ и $x + 26$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между вторым и первым членом должна быть равна разности между третьим и вторым членом. Это основное свойство арифметической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии:

$a_1 = x - 2$

$a_2 = 4x + 3$

$a_3 = x + 26$

Согласно свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство:

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$

Подставим в это равенство данные выражения:

$(4x + 3) - (x - 2) = (x + 26) - (4x + 3)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях:

$4x + 3 - x + 2 = x + 26 - 4x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(4x - x) + (3 + 2) = (x - 4x) + (26 - 3)$

$3x + 5 = -3x + 23$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x + 3x = 23 - 5$

$6x = 18$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Проверим, подставив $x = 3$ в исходные выражения:

• $a_1 = 3 - 2 = 1$
• $a_2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$
• $a_3 = 3 + 26 = 29$

Получилась последовательность 1, 15, 29. Найдем разность между соседними членами:

$15 - 1 = 14$

$29 - 15 = 14$

Разность одинакова, следовательно, при $x = 3$ выражения действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: 3