Страница 140 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Арифметическая прогрессия $ (a_n) $ задана формулой $n$-го члена $a_n = 8 - 3,4n$. Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии, обозначаемая как $d$, — это постоянная величина, на которую каждый следующий член прогрессии отличается от предыдущего. Чтобы найти разность прогрессии, заданной формулой n-го члена $a_n = 8 - 3,4n$, можно использовать один из следующих способов.

Способ 1: Вычисление разности двух последовательных членов

По определению, разность арифметической прогрессии равна $d = a_{n+1} - a_n$. Мы можем найти разность, вычислив два первых члена прогрессии и найдя их разность.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$), подставив в формулу $n=1$:

$a_1 = 8 - 3,4 \cdot 1 = 8 - 3,4 = 4,6$

2. Найдем второй член прогрессии ($a_2$), подставив в формулу $n=2$:

$a_2 = 8 - 3,4 \cdot 2 = 8 - 6,8 = 1,2$

3. Теперь вычислим разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 1,2 - 4,6 = -3,4$

Способ 2: Анализ формулы n-го члена

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. Если раскрыть скобки, мы получим линейную зависимость $a_n$ от $n$:

$a_n = a_1 + dn - d = dn + (a_1 - d)$

В этой форме коэффициент при переменной $n$ и есть разность прогрессии $d$.

Сравним эту общую формулу с нашей заданной формулой $a_n = 8 - 3,4n$, которую можно переписать как $a_n = -3,4n + 8$.

Сравнивая выражения $a_n = dn + (a_1 - d)$ и $a_n = -3,4n + 8$, мы видим, что коэффициент при $n$ равен $-3,4$.

Следовательно, разность прогрессии $d = -3,4$.

Ответ: -3,4

9. Чему равна сумма пятнадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 + a_9 + a_{14} = 45$?

Пусть ($a_n$) - арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены $a_9$ и $a_{14}$ через $a_1$ и $d$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Согласно условию задачи, $a_1 + a_9 + a_{14} = 45$. Подставим в это равенство полученные выражения:

$a_1 + (a_1 + 8d) + (a_1 + 13d) = 45$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3a_1 + 21d = 45$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 7d = 15$

Нам необходимо найти сумму пятнадцати первых членов прогрессии, $S_{15}$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

При $n = 15$ формула принимает вид:

$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15$

В числителе дроби вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S_{15} = \frac{2(a_1 + 7d)}{2} \cdot 15$

Сократив на 2, получим:

$S_{15} = (a_1 + 7d) \cdot 15$

Ранее мы уже установили, что $a_1 + 7d = 15$. Подставим это значение в выражение для $S_{15}$:

$S_{15} = 15 \cdot 15 = 225$

Ответ: 225

10. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0.\overline{72}$.

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь $0,(72)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через переменную $x$.

$x = 0,(72) = 0,727272...$

В периоде этой дроби находятся две цифры (7 и 2). Умножим обе части равенства на $10^2$, то есть на 100, чтобы сместить запятую на два знака вправо:

$100x = 100 \cdot 0,727272... = 72,727272...$

Теперь вычтем из полученного равенства ($100x = 72,727272...$) исходное равенство ($x = 0,727272...$). Это позволит избавиться от бесконечной периодической части.

$100x - x = 72,727272... - 0,727272...$

$99x = 72$

Теперь решим это простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{72}{99}$

Полученную дробь можно сократить. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$x = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11}$

Таким образом, бесконечная десятичная дробь $0,(72)$ в виде обыкновенной дроби записывается как $\frac{8}{11}$.

Ответ: $\frac{8}{11}$

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 2$, $4x + 3$ и $x + 26$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между вторым и первым членом должна быть равна разности между третьим и вторым членом. Это основное свойство арифметической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии:

$a_1 = x - 2$

$a_2 = 4x + 3$

$a_3 = x + 26$

Согласно свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство:

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$

Подставим в это равенство данные выражения:

$(4x + 3) - (x - 2) = (x + 26) - (4x + 3)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях:

$4x + 3 - x + 2 = x + 26 - 4x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(4x - x) + (3 + 2) = (x - 4x) + (26 - 3)$

$3x + 5 = -3x + 23$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x + 3x = 23 - 5$

$6x = 18$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Проверим, подставив $x = 3$ в исходные выражения:

• $a_1 = 3 - 2 = 1$
• $a_2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$
• $a_3 = 3 + 26 = 29$

Получилась последовательность 1, 15, 29. Найдем разность между соседними членами:

$15 - 1 = 14$

$29 - 15 = 14$

Разность одинакова, следовательно, при $x = 3$ выражения действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: 3

12. При каком значении $x$ значения выражений $12x$, $2x$ и $x-2$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух других. Обозначим данные выражения как члены прогрессии:

$b_1 = 12x$
$b_2 = 2x$
$b_3 = x - 2$

Основное свойство геометрической прогрессии для трех последовательных членов записывается формулой:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные выражения:

$(2x)^2 = (12x) \cdot (x - 2)$

Решим полученное уравнение:

$4x^2 = 12x^2 - 24x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$12x^2 - 4x^2 - 24x = 0$

$8x^2 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $8x$ за скобки:

$8x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

1) $8x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как члены геометрической прогрессии не должны быть равны нулю (иначе знаменатель прогрессии не определен).

Проверка для $x = 0$:

$b_1 = 12 \cdot 0 = 0$
$b_2 = 2 \cdot 0 = 0$
$b_3 = 0 - 2 = -2$

Поскольку первый член равен нулю, знаменатель прогрессии $q = b_2/b_1$ не определен. Следовательно, $x=0$ не является решением задачи.

Проверка для $x = 3$:

$b_1 = 12 \cdot 3 = 36$
$b_2 = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = 3 - 2 = 1$

Получилась последовательность чисел 36, 6, 1. Все члены отличны от нуля. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{6}$

Знаменатель постоянен, значит, при $x = 3$ данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: 3