Страница 142 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 5 - 2,4n$. Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый последующий член прогрессии от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

Чтобы найти разность, вычислим два последовательных члена прогрессии, например, первый ($a_1$) и второй ($a_2$), используя заданную формулу $a_n = 5 - 2,4n$.

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 5 - 2,4 \cdot 1 = 5 - 2,4 = 2,6$

2. Найдем второй член прогрессии, подставив $n=2$:

$a_2 = 5 - 2,4 \cdot 2 = 5 - 4,8 = 0,2$

3. Теперь вычислим разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 0,2 - 2,6 = -2,4$

Также можно заметить, что формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$, что можно преобразовать к виду $a_n = dn + (a_1 - d)$. Это линейная функция от $n$, где коэффициент при $n$ и есть разность прогрессии $d$. В нашей формуле $a_n = 5 - 2,4n$, или $a_n = -2,4n + 5$, коэффициент при $n$ равен -2,4. Это и есть разность прогрессии.

Ответ: -2,4

9. Чему равна сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 + a_4 + a_{22} = 36$?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены $a_4$ и $a_{22}$ через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{22} = a_1 + (22-1)d = a_1 + 21d$

Согласно условию задачи, $a_1 + a_4 + a_{22} = 36$. Подставим полученные выражения в это уравнение:

$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 21d) = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(a_1 + a_1 + a_1) + (3d + 21d) = 36$

$3a_1 + 24d = 36$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 8d = 12$

Заметим, что выражение $a_1 + 8d$ является формулой для девятого члена прогрессии, $a_9$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Следовательно, $a_9 = 12$.

Теперь нам нужно найти сумму семнадцати первых членов прогрессии, $S_{17}$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим $n=17$:

$S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17$

Вынесем 2 за скобки в числителе:

$S_{17} = \frac{2(a_1 + 8d)}{2} \cdot 17$

Сократим дробь на 2:

$S_{17} = (a_1 + 8d) \cdot 17$

Мы уже нашли, что $a_1 + 8d = 12$. Подставим это значение в формулу для $S_{17}$:

$S_{17} = 12 \cdot 17$

$S_{17} = 204$

Ответ: 204

10. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0.\overline{45}$.

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, можно использовать алгебраический метод.

1. Обозначим данное число переменной $x$:

$x = 0,(45)$

Это означает, что $x = 0.454545...$

2. Определим длину периода. В данном случае период — это "45", и его длина равна 2. Умножим обе части нашего уравнения на $10$ в степени, равной длине периода, то есть на $10^2 = 100$:

$100x = 100 \times 0.454545... = 45.454545...$

3. Теперь у нас есть два уравнения:

(1) $x = 0.454545...$
(2) $100x = 45.454545...$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2). Это позволит избавиться от бесконечной дробной части:

$100x - x = 45.454545... - 0.454545...$

$99x = 45$

4. Теперь решим полученное простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{45}{99}$

5. Полученную дробь необходимо сократить. Найдём наибольший общий делитель для числителя и знаменателя. Оба числа, 45 и 99, делятся на 9:

$x = \frac{45 \div 9}{99 \div 9} = \frac{5}{11}$

Таким образом, бесконечная десятичная дробь 0,(45) в виде обыкновенной дроби записывается как $\frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{5}{11}$

11. При каком значении $x$ значения выражений $x + 23$, $5x - 1$ и $2x - 11$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Пусть данные выражения $x + 23$, $5x - 1$ и $2x - 11$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно:

$a_1 = x + 23$

$a_2 = 5x - 1$

$a_3 = 2x - 11$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов гласит, что средний член равен среднему арифметическому его соседей. Это можно записать в виде формулы:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Умножив обе части на 2, получим эквивалентное уравнение:

$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это уравнение данные нам выражения:

$2(5x - 1) = (x + 23) + (2x - 11)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$10x - 2 = x + 23 + 2x - 11$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$10x - 2 = (x + 2x) + (23 - 11)$

$10x - 2 = 3x + 12$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$10x - 3x = 12 + 2$

$7x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x = 2$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:

$a_1 = 2 + 23 = 25$

$a_2 = 5(2) - 1 = 10 - 1 = 9$

$a_3 = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Мы получили последовательность чисел: 25, 9, -7. Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами:

$d = a_2 - a_1 = 9 - 25 = -16$

$d = a_3 - a_2 = -7 - 9 = -16$

Так как разности равны, то при $x=2$ данные выражения действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью $d = -16$.

Ответ: 2

12. При каком значении $x$ значения выражений $x + 2$, $5x$ и $15x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух крайних.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии:
$b_1 = x + 2$
$b_2 = 5x$
$b_3 = 15x$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии для трёх последовательных членов $b_1, b_2, b_3$ записывается как:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство данные выражения и решим полученное уравнение относительно $x$:
$(5x)^2 = (x + 2) \cdot (15x)$
$25x^2 = 15x(x + 2)$
$25x^2 = 15x^2 + 30x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 15x^2 - 30x = 0$
$10x^2 - 30x = 0$

Вынесем общий множитель $10x$ за скобки:
$10x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных решения:
1) $10x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Проверим оба найденных значения:

1. Если $x = 0$, то члены последовательности равны:
$b_1 = 0 + 2 = 2$
$b_2 = 5 \cdot 0 = 0$
$b_3 = 15 \cdot 0 = 0$
Мы получили последовательность $2, 0, 0$. Это является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0}{2} = 0$.

2. Если $x = 3$, то члены последовательности равны:
$b_1 = 3 + 2 = 5$
$b_2 = 5 \cdot 3 = 15$
$b_3 = 15 \cdot 3 = 45$
Мы получили последовательность $5, 15, 45$. Это является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{15}{5} = \frac{45}{15} = 3$.

Оба значения $x$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $x=0$ или $x=3$.