Страница 135 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен четвёртый член последовательности ($x_n$), если $x_1 = 5$, $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$?

1) 5

2) -5

3) $\frac{1}{5}$

4) $-\frac{1}{5}$

Для нахождения четвёртого члена последовательности $(x_n)$ необходимо последовательно вычислить второй, третий и четвёртый члены, используя заданную рекуррентную формулу $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$ и известное значение первого члена $x_1 = 5$.

1. Найдём второй член последовательности, подставив в формулу $n=1$:
$x_2 = x_{1+1} = -\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{5}$

2. Теперь, зная $x_2$, найдём третий член последовательности, подставив в формулу $n=2$:
$x_3 = x_{2+1} = -\frac{1}{x_2} = -\frac{1}{-\frac{1}{5}} = 5$

3. Наконец, зная $x_3$, найдём искомый четвёртый член, подставив в формулу $n=3$:
$x_4 = x_{3+1} = -\frac{1}{x_3} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, четвёртый член последовательности равен $-\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$

2. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена

$y_n = 4n^2 - 9$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 54 2) 55 3) 56 4) 57

Последовательность ($y_n$) задана формулой n-го члена $y_n = 4n^2 - 9$. Чтобы число являлось членом этой последовательности, его номер $n$ должен быть натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Проверим каждое из предложенных чисел, подставив его вместо $y_n$ в формулу и решив уравнение относительно $n$.

1) 54
$4n^2 - 9 = 54$
$4n^2 = 54 + 9$
$4n^2 = 63$
$n^2 = \frac{63}{4}$
$n = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{63}}{2}$.
Поскольку $\sqrt{63}$ не является целым числом, $n$ не является натуральным числом.

2) 55
$4n^2 - 9 = 55$
$4n^2 = 55 + 9$
$4n^2 = 64$
$n^2 = \frac{64}{4}$
$n^2 = 16$
$n = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку $n = 4$ является натуральным числом, число 55 является членом данной последовательности.

3) 56
$4n^2 - 9 = 56$
$4n^2 = 56 + 9$
$4n^2 = 65$
$n^2 = \frac{65}{4}$
$n = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$.
Поскольку $\sqrt{65}$ не является целым числом, $n$ не является натуральным числом.

4) 57
$4n^2 - 9 = 57$
$4n^2 = 57 + 9$
$4n^2 = 66$
$n^2 = \frac{66}{4} = \frac{33}{2}$
$n = \sqrt{\frac{33}{2}}$.
$n$ не является натуральным числом.

Единственное число из предложенных, для которого номер $n$ является натуральным, — это 55.

Ответ: 55

3. Чему равен седьмой член арифметической прогрессии, первый член которой равен 10, а разность равна 0,6?

1) 13,6

2) 14,8

3) 14,2

4) 13

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.
По условию задачи нам даны следующие значения:
Первый член прогрессии $a_1 = 10$.
Разность прогрессии $d = 0,6$.
Нам необходимо найти седьмой член прогрессии, то есть $n = 7$.
Подставим эти значения в формулу:
$a_7 = 10 + (7-1) \cdot 0,6$
Теперь выполним вычисления:
$a_7 = 10 + 6 \cdot 0,6$
$a_7 = 10 + 3,6$
$a_7 = 13,6$
Следовательно, седьмой член данной арифметической прогрессии равен 13,6.
Ответ: 13,6

4. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = -14$, а разность $d = 4$.

1) 40

2) 60

3) 110

4) 130

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам известны:

• первый член прогрессии $a_1 = -14$;
• разность прогрессии $d = 4$;
• количество членов для суммирования $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-14) + 4 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-28 + 4 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-28 + 36}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{8}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 4 \cdot 10$

$S_{10} = 40$

Таким образом, сумма десяти первых членов данной арифметической прогрессии равна 40.

Ответ: 40

5. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_3 = 3, b_6 = 375$?

1) 125

2) 25

3) 5

4) 124

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии ($q$) воспользуемся формулой n-го члена. Формула, связывающая два любых члена геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$, имеет вид:

$b_m = b_k \cdot q^{m-k}$

В условии задачи даны значения третьего и шестого членов прогрессии:

$b_3 = 3$

$b_6 = 375$

Подставим эти значения в формулу, приняв $m=6$ и $k=3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$

$375 = 3 \cdot q^3$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $q$. Для этого разделим обе части уравнения на 3:

$q^3 = \frac{375}{3}$

$q^3 = 125$

Чтобы найти $q$, извлечем кубический корень из 125:

$q = \sqrt[3]{125}$

Поскольку $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, то $q=5$.

Следовательно, знаменатель данной геометрической прогрессии равен 5.

Ответ: 5

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $ \frac{3}{4} $, а её знаменатель равен $ -\frac{1}{2} $. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

Окончание предложения

1) $ \frac{3}{16} $

2) $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{9}{16} $

4) $ \frac{27}{16} $

5) $ \frac{3}{2} $

Дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{3}{4}$ и знаменателем $q = -\frac{1}{2}$.

А) Третий член прогрессии равен

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Чтобы найти третий член прогрессии ($n=3$), подставим известные значения в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_3 = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
Это значение соответствует варианту 1) в правом столбце.
Ответ: $\frac{3}{16}$

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Для $n=3$ имеем:
$S_3 = \frac{\frac{3}{4}(1-(-\frac{1}{2})^3)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{4}(1-(-\frac{1}{8}))}{1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}(1+\frac{1}{8})}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{27}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{27}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{16}$.
Альтернативно, можно найти первые три члена и сложить их:
$b_1 = \frac{3}{4}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}$
$b_3 = b_2 \cdot q = -\frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{16}$
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} - \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12-6+3}{16} = \frac{9}{16}$.
Это значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: $\frac{9}{16}$

В) Сумма прогрессии равна

Так как модуль знаменателя прогрессии $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{\frac{3}{4}}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{4}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.
Это значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: $\frac{1}{2}$