Страница 132 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. На станции скорой медицинской помощи работают 12 врачей и 15 медицинских сестёр. Сколько существует способов сформировать бригаду, состоящую из врача и медицинской сестры?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Необходимо найти общее число способов сформировать бригаду, состоящую из одного врача и одной медицинской сестры.

По условию, у нас есть два независимых выбора:
1. Выбор врача из 12 доступных кандидатов.
2. Выбор медицинской сестры из 15 доступных кандидатов.

Количество способов выбрать одного врача равно 12.
Количество способов выбрать одну медицинскую сестру равно 15.

Чтобы найти общее количество способов сформировать бригаду, нужно перемножить количество способов для каждого выбора. Если $N$ — это общее количество способов, то:
$N = (\text{количество способов выбрать врача}) \times (\text{количество способов выбрать сестру})$

Подставляем данные из условия задачи:
$N = 12 \times 15$

Выполняем вычисление:
$12 \times 15 = 180$

Следовательно, существует 180 различных способов сформировать бригаду из одного врача и одной медицинской сестры.

Ответ: 180

9. Сколько шестизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Для составления шестизначного числа из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5} необходимо, чтобы все цифры в числе были различны. Это задача по комбинаторике на нахождение числа перестановок с ограничением.

Ограничение заключается в том, что шестизначное число не может начинаться с цифры 0.

Будем определять количество возможных вариантов для каждой из шести позиций в числе, двигаясь слева направо.

Первая цифра (разряд сотен тысяч): На эту позицию можно поставить любую цифру из исходного набора, кроме 0. То есть, доступны цифры {1, 2, 3, 4, 5}. Таким образом, для первой цифры есть 5 вариантов.

Вторая цифра (разряд десятков тысяч): Для этой позиции можно использовать любую из оставшихся цифр. Одна цифра уже использована для первой позиции, но теперь можно использовать 0. Всего в наборе было 6 цифр, одна занята, значит, для второй позиции осталось 5 вариантов.

Третья цифра (разряд тысяч): Две цифры уже использованы. Из 6 исходных цифр осталось 4. Следовательно, для третьей позиции есть 4 варианта.

Четвертая цифра (разряд сотен): Три цифры использованы, осталось 3. Для четвертой позиции есть 3 варианта.

Пятая цифра (разряд десятков): Четыре цифры использованы, осталось 2. Для пятой позиции есть 2 варианта.

Шестая цифра (разряд единиц): Пять цифр использованы, осталась 1. Для шестой позиции есть только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество таких шестизначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции в соответствии с правилом произведения в комбинаторике:

Количество чисел = $5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это выражение можно также записать через факториал:

$5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$

Альтернативный способ (метод исключения):

1. Найдем общее количество всех перестановок из шести цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это $P_6 = 6!$.

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

2. Из этого числа нужно вычесть те перестановки, которые начинаются с 0, так как они не являются шестизначными числами. Если первая цифра — 0, то остальные пять позиций заполняются оставшимися пятью цифрами {1, 2, 3, 4, 5}. Число таких перестановок равно $P_5 = 5!$.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

3. Вычитаем "неправильные" перестановки из общего числа:

Искомое количество чисел = $6! - 5! = 720 - 120 = 600$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 600

10. В вазе стоят 45 белых и красных роз. Вероятность того, что наугад взятая роза будет белой, равна 0,4. Сколько красных роз в вазе?

Обозначим общее количество роз в вазе за $N$, количество белых роз за $N_б$, а количество красных роз за $N_к$.

По условию задачи:
Общее количество роз $N = 45$.
Вероятность того, что наугад взятая роза будет белой, $P(б) = 0,4$.

Вероятность события по определению — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. В данном случае, вероятность вытащить белую розу можно выразить формулой:
$P(б) = \frac{N_б}{N}$

Чтобы найти количество белых роз ($N_б$), подставим в формулу известные значения:
$0,4 = \frac{N_б}{45}$

Выразим и вычислим $N_б$:
$N_б = 0,4 \cdot 45 = 18$
Следовательно, в вазе 18 белых роз.

Общее количество роз в вазе является суммой белых и красных роз:
$N = N_б + N_к$

Теперь мы можем найти количество красных роз ($N_к$), вычтя количество белых роз из общего количества роз:
$N_к = N - N_б = 45 - 18 = 27$

Таким образом, в вазе 27 красных роз.

Ответ: 27

11. В таблице отображена информация о количестве пар мужской спортивной обуви разных размеров, проданных магазином в течение недели.

Для анализа данных, представленных в таблице, рассчитаем основные статистические характеристики этого ряда данных.

Общее количество проданных пар

Чтобы найти общее количество проданных пар обуви, необходимо сложить количество пар каждого размера, указанное в нижней строке таблицы:
$N = 10 + 15 + 45 + 55 + 35 + 20 = 180$.
Таким образом, всего за неделю было продано 180 пар обуви.
Ответ: 180

Размах вариации

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значением в ряду данных. В данном случае значениями являются размеры обуви.
Наибольший размер: 45.
Наименьший размер: 40.
Размах = $45 - 40 = 5$.
Ответ: 5

Мода

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. Для этой задачи это размер обуви, который был продан в наибольшем количестве.
Анализируя строку "Количество пар обуви", находим наибольшее значение — 55.
Это значение соответствует размеру обуви 43.
Следовательно, мода данного ряда равна 43.
Ответ: 43

Медиана

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.
1. Общее количество проданных пар (объем выборки) равно 180.
2. Так как объем выборки (180) является четным числом, медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений. Их порядковые номера в упорядоченном по возрастанию ряду размеров: $\frac{180}{2} = 90$-й и $\frac{180}{2} + 1 = 91$-й.
3. Чтобы найти эти значения, определим накопленные частоты (кумулятивная частота):
- Размеры до 40 включительно: 10 пар (позиции с 1 по 10).
- Размеры до 41 включительно: $10 + 15 = 25$ пар (позиции с 1 по 25).
- Размеры до 42 включительно: $25 + 45 = 70$ пар (позиции с 1 по 70).
- Размеры до 43 включительно: $70 + 55 = 125$ пар (позиции с 71 по 125).
Из этого расчета видно, что и 90-й, и 91-й элементы ряда соответствуют размеру 43.
4. Медиана равна среднему арифметическому этих двух значений:
$M_e = \frac{43 + 43}{2} = 43$.
Ответ: 43

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое размера проданной обуви — это средневзвешенное значение, которое находится по формуле:
$\bar{x} = \frac{\text{сумма всех значений}}{\text{количество значений}} = \frac{\sum(x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$, где $x_i$ — размер обуви, а $f_i$ — количество проданных пар данного размера.
1. Найдем сумму произведений каждого размера на его частоту:
$\sum(x_i \cdot f_i) = (40 \cdot 10) + (41 \cdot 15) + (42 \cdot 45) + (43 \cdot 55) + (44 \cdot 35) + (45 \cdot 20)$
$\sum(x_i \cdot f_i) = 400 + 615 + 1890 + 2365 + 1540 + 900 = 7710$.
2. Общее количество пар, как было найдено ранее, равно 180.
3. Рассчитаем среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{7710}{180} = \frac{771}{18} = 42 \frac{15}{18} = 42 \frac{5}{6}$.
В виде десятичной дроби это значение приблизительно равно $42.83$.
Ответ: $42 \frac{5}{6}$

Найдите размах данной выборки.

12. По условию задачи 11 найдите среднее значение данной выборки.

Для решения данных задач необходимы числовые данные из условия задачи 11, которые на представленном изображении отсутствуют. Ниже приведено общее решение и алгоритм действий, которые позволят вам найти ответ, когда данные будут известны.

Найдите размах данной выборки.

Размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке. Чтобы найти размах, необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять все числа из выборки, данной в условии задачи 11.

2. Найти среди них максимальное значение (обозначим его $x_{max}$).

3. Найти среди них минимальное значение (обозначим его $x_{min}$).

4. Вычислить разность между максимальным и минимальным значениями. Формула для вычисления размаха ($R$): $R = x_{max} - x_{min}$.

Пример: Предположим, что в задаче 11 дана выборка чисел: {18, 5, 23, 7, 11}.

Наибольшее значение в этой выборке $x_{max} = 23$.

Наименьшее значение в этой выборке $x_{min} = 5$.

Размах выборки будет равен: $R = 23 - 5 = 18$.

Ответ: Размах выборки равен разности между ее наибольшим и наименьшим значениями. Для получения числового ответа необходимы данные из задачи 11.

12. По условию задачи 11 найдите среднее значение данной выборки.

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки — это сумма всех ее значений, деленная на их количество. Чтобы найти среднее значение, необходимо:

1. Сложить все значения, входящие в выборку из задачи 11.

2. Подсчитать количество значений в выборке (обозначим это количество как $n$).

3. Разделить полученную сумму на количество значений. Формула для вычисления среднего значения ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.

Пример: Воспользуемся той же гипотетической выборкой, что и в предыдущем примере: {18, 5, 23, 7, 11}.

Сумма всех значений: $18 + 5 + 23 + 7 + 11 = 64$.

Количество значений в выборке: $n=5$.

Среднее значение выборки будет равно: $\bar{x} = \frac{64}{5} = 12.8$.

Ответ: Среднее значение выборки равно сумме всех ее элементов, деленной на их количество. Для получения числового ответа необходимы данные из задачи 11.