Номер 9, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Сколько шестизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Для составления шестизначного числа из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5} необходимо, чтобы все цифры в числе были различны. Это задача по комбинаторике на нахождение числа перестановок с ограничением.

Ограничение заключается в том, что шестизначное число не может начинаться с цифры 0.

Будем определять количество возможных вариантов для каждой из шести позиций в числе, двигаясь слева направо.

Первая цифра (разряд сотен тысяч): На эту позицию можно поставить любую цифру из исходного набора, кроме 0. То есть, доступны цифры {1, 2, 3, 4, 5}. Таким образом, для первой цифры есть 5 вариантов.

Вторая цифра (разряд десятков тысяч): Для этой позиции можно использовать любую из оставшихся цифр. Одна цифра уже использована для первой позиции, но теперь можно использовать 0. Всего в наборе было 6 цифр, одна занята, значит, для второй позиции осталось 5 вариантов.

Третья цифра (разряд тысяч): Две цифры уже использованы. Из 6 исходных цифр осталось 4. Следовательно, для третьей позиции есть 4 варианта.

Четвертая цифра (разряд сотен): Три цифры использованы, осталось 3. Для четвертой позиции есть 3 варианта.

Пятая цифра (разряд десятков): Четыре цифры использованы, осталось 2. Для пятой позиции есть 2 варианта.

Шестая цифра (разряд единиц): Пять цифр использованы, осталась 1. Для шестой позиции есть только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество таких шестизначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции в соответствии с правилом произведения в комбинаторике:

Количество чисел = $5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это выражение можно также записать через факториал:

$5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$

Альтернативный способ (метод исключения):

1. Найдем общее количество всех перестановок из шести цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это $P_6 = 6!$.

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

2. Из этого числа нужно вычесть те перестановки, которые начинаются с 0, так как они не являются шестизначными числами. Если первая цифра — 0, то остальные пять позиций заполняются оставшимися пятью цифрами {1, 2, 3, 4, 5}. Число таких перестановок равно $P_5 = 5!$.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

3. Вычитаем "неправильные" перестановки из общего числа:

Искомое количество чисел = $6! - 5! = 720 - 120 = 600$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 600