Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 - 4x \le 21$?

Чтобы найти количество целых решений неравенства, сначала решим это неравенство. Исходное неравенство:

$$x^2 - 4x \le 21$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c \le 0$:

$$x^2 - 4x - 21 \le 0$$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$. Это позволит нам определить интервалы, на которых выражение $x^2 - 4x - 21$ положительно или отрицательно. Найдем корни с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, b=-4, c=-21$.

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=1$ положителен). Значит, значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-3; 7]$, то есть $-3 \le x \le 7$.

Теперь нам нужно найти количество целых чисел, которые входят в этот промежуток. Перечислим их:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Чтобы посчитать их общее количество, можно из конечного значения вычесть начальное и прибавить единицу:

Количество целых решений = $7 - (-3) + 1 = 7 + 3 + 1 = 11$.

Ответ: 11

8. При каких значениях $b$ уравнение $3x^2 + bx + 3 = 0$ имеет два различных действительных корня?

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня в том случае, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

В данном уравнении $3x^2 + bx + 3 = 0$ коэффициенты равны:
$a = 3$
$b = b$
$c = 3$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = b^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36$

Теперь решим неравенство $D > 0$:
$b^2 - 36 > 0$

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов:
$(b - 6)(b + 6) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя либо положительны, либо отрицательны.
1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} b - 6 > 0 \\ b + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 6 \\ b > -6 \end{cases}$
Решением этой системы является $b > 6$.

2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} b - 6 < 0 \\ b + 6 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b < 6 \\ b < -6 \end{cases}$
Решением этой системы является $b < -6$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет два различных действительных корня при значениях $b$, принадлежащих объединению интервалов $(-\infty; -6)$ и $(6; \infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$.

9. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений:

$\begin{cases} x+y=7, \\ x^2-y^2=63. \end{cases}$

Найдите значение выражения $ab$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 - y^2 = 63 \end{cases} $$

Поскольку пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы, то $x=a$ и $y=b$. Нам нужно найти значение выражения $ab$.

Рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 - y^2 = 63$.

Это формула разности квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - y)(x + y) = 63$.

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x + y = 7$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 7 = 63$

Теперь мы можем найти значение выражения $(x - y)$:

$x - y = \frac{63}{7}$

$x - y = 9$

Таким образом, исходная система уравнений эквивалентна следующей системе линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 9 \end{cases} $$

Сложим два этих уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 7 + 9$

$2x = 16$

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x + y = 7$), чтобы найти $y$:

$8 + y = 7$

$y = 7 - 8$

$y = -1$

Итак, решение системы — это пара чисел $(8; -1)$. Следовательно, $a = 8$ и $b = -1$.

Теперь найдем значение искомого выражения $ab$:

$ab = 8 \cdot (-1) = -8$

Ответ: -8

10. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x - 5y = 1, \\ xy + 4y = 10. \end{cases}$$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$\begin{cases} x - 5y = 1, \\ xy + 4y = 10. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + 5y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + 5y)y + 4y = 10$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$y + 5y^2 + 4y = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим все члены уравнения на 5, чтобы упростить его:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -2$, а их сумма $y_1 + y_2 = -1$. Этим условиям удовлетворяют числа $y_1 = -2$ и $y_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя формулу $x = 1 + 5y$.

При $y_1 = -2$:

$x_1 = 1 + 5(-2) = 1 - 10 = -9$

Первая пара решений: $(-9, -2)$.

При $y_2 = 1$:

$x_2 = 1 + 5(1) = 1 + 5 = 6$

Вторая пара решений: $(6, 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(-9, -2)$:

$x - 5y = -9 - 5(-2) = -9 + 10 = 1$ (верно).

$xy + 4y = (-9)(-2) + 4(-2) = 18 - 8 = 10$ (верно).

Для пары $(6, 1)$:

$x - 5y = 6 - 5(1) = 6 - 5 = 1$ (верно).

$xy + 4y = 6(1) + 4(1) = 6 + 4 = 10$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(-9; -2), (6; 1)$.

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 29$ и $y = 3 - x$.

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ y = 3 - x \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (3 - x)^2 = 29$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 29$

$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29$

Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0$

$2x^2 - 6x - 20 = 0$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 3 - x$.

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 3 - 5 = -2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(5; -2)$ и $(-2; 5)$.

Ответ: $(5; -2), (-2; 5)$.

12. При каких значениях $a$ прямая $10x + y = a$ имеет с параболой $y = x^2 - 3$ одну общую точку?

Чтобы найти значения параметра a, при которых прямая и парабола имеют одну общую точку, необходимо найти условия, при которых система уравнений, описывающих эти кривые, имеет единственное решение.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10x + y = a \\ y = x^2 - 3 \end{cases} $

Для решения системы применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$y = a - 10x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

$a - 10x = x^2 - 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной x:

$x^2 + 10x - 3 - a = 0$

Сгруппируем свободные члены:

$x^2 + 10x - (a + 3) = 0$

Прямая и парабола имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Условием наличия одного корня у квадратного уравнения является равенство его дискриминанта (D) нулю.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где для нашего уравнения $a=1$, $b=10$, $c = -(a+3)$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a + 3))$

$D = 100 + 4(a + 3)$

$D = 100 + 4a + 12$

$D = 4a + 112$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно a:

$4a + 112 = 0$

$4a = -112$

$a = \frac{-112}{4}$

$a = -28$

Таким образом, при $a = -28$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $-28$