Страница 122 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 \le -3x + 10?$`

Чтобы найти количество целых решений неравенства, сначала преобразуем его, перенеся все слагаемые в левую часть:
$x^2 \le -3x + 10$
$x^2 + 3x - 10 \le 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$, чтобы найти корни квадратного трехчлена.
Воспользуемся теоремой Виета или формулой для нахождения корней через дискриминант.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 + 3x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 3x - 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства — это промежуток $x \in [-5; 2]$.
Теперь нам нужно посчитать количество целых чисел, входящих в этот промежуток. Это числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Всего их 8.
Ответ: 8

8. При каких значениях $b$ уравнение $6x^2 + bx + 6 = 0$ имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение $6x^2 + bx + 6 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 6$, $b$ – это параметр, который нужно найти, и $c = 6$.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня в том и только в том случае, когда его дискриминант (D) строго больше нуля ($D > 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов $a$ и $c$ в эту формулу:

$D = b^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6$

$D = b^2 - 144$

Теперь, согласно условию задачи, наложим ограничение на дискриминант $D > 0$:

$b^2 - 144 > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 144 = 0$:

$b^2 = 144$

$b = \pm\sqrt{144}$

$b_1 = 12$, $b_2 = -12$

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -12)$, $(-12, 12)$ и $(12, \infty)$. График функции $y = b^2 - 144$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны, когда $b$ находится за пределами интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $b^2 - 144 > 0$ выполняется при $b < -12$ или $b > 12$.

Это решение можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $b \in (-\infty; -12) \cup (12; \infty)$

9. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - y^2 = 35. \end{cases}$ Найдите значение выражения $ab$.

Нам дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - y^2 = 35. \end{cases} $

По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы, следовательно, $x = a$ и $y = b$. Нам необходимо найти значение произведения $ab$.

Для решения воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения системы: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - y)(x + y) = 35$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 5 = 35$

Отсюда мы можем найти значение выражения $(x - y)$:

$x - y = \frac{35}{5}$

$x - y = 7$

Теперь мы имеем новую, более простую систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = 7. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 5 + 7$

$2x = 12$

$x = 6$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($x + y = 5$), чтобы найти $y$:

$6 + y = 5$

$y = 5 - 6$

$y = -1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(6; -1)$. Следовательно, $a = 6$ и $b = -1$.

Теперь найдем значение выражения $ab$:

$ab = 6 \cdot (-1) = -6$

Ответ: -6

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases}x - 4y = 2, \\xy + 2y = 8.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$\begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 2 + 4y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 + 4y)y + 2y = 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$2y + 4y^2 + 2y = 8$

$4y^2 + 4y - 8 = 0$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на 4:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Разложим левую часть на множители:

$(y + 2)(y - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = -2$ или $y_2 = 1$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя ранее выведенную формулу $x = 2 + 4y$.

1. При $y_1 = -2$:

$x_1 = 2 + 4(-2) = 2 - 8 = -6$

Получаем первую пару решений: $(-6, -2)$.

2. При $y_2 = 1$:

$x_2 = 2 + 4(1) = 2 + 4 = 6$

Получаем вторую пару решений: $(6, 1)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-6, -2)$, $(6, 1)$.

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 25$ и $y = 2x - 5$.

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 2x - 5 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2x - 5)^2 = 25$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2) = 25$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 25$

Приведем подобные слагаемые и решим полученное квадратное уравнение:

$5x^2 - 20x + 25 - 25 = 0$

$5x^2 - 20x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:

$5x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$5x = 0$ или $x - 4 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 4$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = 2x - 5$.

1. Если $x_1 = 0$, то:

$y_1 = 2 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(0; -5)$.

2. Если $x_2 = 4$, то:

$y_2 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(4; 3)$.

Ответ: $(0; -5)$ и $(4; 3)$.

12. При каких значениях $a$ прямая $6x + y = a$ имеет с параболой $y = x^2 - 1$ одну общую точку?

Для того чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, система уравнений, описывающая их, должна иметь единственное решение. Это происходит, когда прямая является касательной к параболе.

Составим систему уравнений:
$\begin{cases}6x + y = a \\y = x^2 - 1\end{cases}$

Для нахождения точек пересечения подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$6x + (x^2 - 1) = a$

Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$x^2 + 6x - 1 - a = 0$

Данное квадратное уравнение имеет одно решение для переменной $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=6$, $C = -1 - a$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1 - a) = 36 - 4(-1 - a) = 36 + 4 + 4a = 40 + 4a$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$40 + 4a = 0$
$4a = -40$
$a = \frac{-40}{4}$
$a = -10$

Таким образом, при $a = -10$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: -10.