Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 44.

1) $x^2 - 9 \ge 0$

2) $x^2 - 3x \ge 0$

3) $x^2 - 9 \le 0$

4) $x^2 - 3x \le 0$

Рис. 44

На рисунке 44 изображен числовой промежуток, который включает все числа от 0 до 3, включая концы. В виде неравенства это можно записать как $0 \le x \le 3$, а в виде промежутка — $[0, 3]$.

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств соответствует этому множеству решений, решим каждое из них.

1) $x^2 - 9 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9 = 0$.
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть $x \le -3$ или $x \ge 3$.
Множество решений: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2) $x^2 - 3x \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$.
$x(x - 3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть $x \le 0$ или $x \ge 3$.
Множество решений: $(-\infty, 0] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [3, \infty)$.

3) $x^2 - 9 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ это $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Множество решений: $[-3, 3]$.
Ответ: $[-3, 3]$.

4) $x^2 - 3x \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x = 0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x$ направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Множество решений: $[0, 3]$.
Это решение полностью совпадает с множеством, изображенным на рисунке 44.
Ответ: $[0, 3]$.

Следовательно, правильный вариант ответа — 4.

2. Укажите неравенство, решением которого является любое действительное число.

1) $x^2 - 4x - 7 < 0$

2) $x^2 - 4x + 7 < 0$

3) $x^2 - 4x - 7 > 0$

4) $x^2 - 4x + 7 > 0$

Для того чтобы найти неравенство, решением которого является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из предложенных квадратичных неравенств.

Решение квадратного неравенства $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ зависит от знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$) и от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет наличие действительных корней у уравнения $ax^2 + bx + c = 0$).

Во всех предложенных неравенствах коэффициент $a=1$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх. Чтобы такое неравенство было верно для всех действительных чисел $x$, соответствующая парабола должна целиком располагаться выше оси абсцисс (для неравенств со знаком '>') или целиком ниже (для неравенств со знаком '<'). Поскольку ветви направлены вверх, парабола может располагаться только целиком выше оси $Ox$. Это происходит, когда у соответствующего квадратного уравнения нет действительных корней, то есть когда дискриминант $D < 0$.

Таким образом, мы ищем неравенство вида $x^2+bx+c > 0$, для которого дискриминант $D < 0$.

1) $x^2 - 4x - 7 < 0$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 7$. Вычислим его дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44$.
Так как $D > 0$, парабола $y = x^2 - 4x - 7$ пересекает ось абсцисс в двух точках. Это значит, что трёхчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, данное неравенство выполняется не для всех действительных чисел.

2) $x^2 - 4x + 7 < 0$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 4x + 7$. Вычислим его дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), то значения трёхчлена $x^2 - 4x + 7$ всегда положительны. Неравенство $x^2 - 4x + 7 < 0$ утверждает, что всегда положительное выражение меньше нуля, что неверно. У этого неравенства нет решений.

3) $x^2 - 4x - 7 > 0$

Для этого трёхчлена дискриминант $D = 44 > 0$ (как в пункте 1). Парабола пересекает ось абсцисс, поэтому трёхчлен не является всегда положительным. Решением неравенства будет объединение двух промежутков, а не все действительные числа.

4) $x^2 - 4x + 7 > 0$

Для этого трёхчлена дискриминант $D = -12 < 0$ (как в пункте 2). Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, трёхчлен $x^2 - 4x + 7$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 7 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Другой способ убедиться в этом — выделить полный квадрат:
$x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$.
Выражение $(x - 2)^2$ неотрицательно для любого $x$: $(x - 2)^2 \ge 0$.
Тогда $(x - 2)^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку $3 > 0$, то и $x^2 - 4x + 7 > 0$ для всех действительных $x$.

Ответ: 4

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 + 6x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = -9$

2) $a = 9$

3) $a = -3$

4) $a = 3$

Данное неравенство $x^2 + 6x - a \le 0$ является квадратным. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = x^2 + 6x - a$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $y \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график параболы находится на оси Ox или ниже неё.

Для параболы с ветвями вверх возможны три случая:

• Парабола пересекает ось Ox в двух точках. Тогда решение неравенства $y \le 0$ — это отрезок $[x_1; x_2]$, то есть бесконечное множество решений.
• Парабола не пересекает ось Ox (расположена полностью выше оси). Тогда неравенство $y \le 0$ не имеет решений.
• Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине). В этой точке $y=0$, а во всех остальных точках $y>0$. В этом случае неравенство $y \le 0$ будет иметь единственное решение — абсциссу точки касания.

Следовательно, для того чтобы неравенство имело единственное решение, необходимо, чтобы соответствующее ему квадратное уравнение $x^2 + 6x - a = 0$ имело один корень. Это происходит, когда дискриминант (D) равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + 6x - a = 0$. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-a$.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю:
$36 + 4a = 0$
$4a = -36$
$a = \frac{-36}{4}$
$a = -9$

При $a = -9$ неравенство принимает вид $x^2 + 6x - (-9) \le 0$, что равносильно $x^2 + 6x + 9 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+3)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это $(x+3)^2 = 0$, откуда $x = -3$. Таким образом, при $a=-9$ неравенство действительно имеет единственное решение.

Ответ: 1) $a = -9$

4. Какие фигуры являются графиками уравнений системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 49, \\ xy = 14? \end{cases} $

1) окружность и прямая

2) парабола и прямая

3) окружность и гипербола

4) парабола и гипербола

Для того чтобы определить, какие фигуры являются графиками уравнений данной системы, необходимо проанализировать каждое уравнение в отдельности.

Анализ первого уравнения $x^2 + y^2 = 49$

Уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.

В нашем случае уравнение $x^2 + y^2 = 49$ можно представить как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 7^2$.

Следовательно, это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 7$.

Анализ второго уравнения $xy = 14$

Уравнение вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ - некоторая константа, не равная нулю, задает гиперболу.

Из уравнения $xy = 14$ можно выразить $y$ через $x$ (при $x \neq 0$): $y = \frac{14}{x}$.

Это уравнение соответствует каноническому виду уравнения гиперболы с коэффициентом $k=14$. Ветви этой гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Заключение

Таким образом, графиком первого уравнения является окружность, а графиком второго уравнения — гипербола. Следовательно, правильный вариант ответа — "окружность и гипербола".

Ответ: 3) окружность и гипербола

5. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} x^2 - y = -4, \\ x + y = 3? \end{cases}$

1) решений нет

2) одно решение

3) два решения

4) четыре решения

Для определения количества решений системы уравнений можно использовать как аналитический, так и графический метод.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = -4 \\ x + y = 3 \end{cases} $$

1. Аналитическое решение (метод подстановки)

Этот метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение.

Шаг 1: Из второго уравнения $x + y = 3$ выразим переменную $y$:

$y = 3 - x$

Шаг 2: Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $x^2 - y = -4$:

$x^2 - (3 - x) = -4$

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$x^2 - 3 + x = -4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$x^2 + x - 3 + 4 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$

Шаг 4: Найдем количество действительных корней этого уравнения, вычислив его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=1$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D = -3$ отрицателен ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует действительного значения $x$, удовлетворяющего системе. Следовательно, и вся система уравнений не имеет действительных решений.

2. Графическое решение

Количество решений системы уравнений равно числу точек пересечения графиков функций, входящих в систему.

Шаг 1: Преобразуем уравнения к виду функций $y(x)$.

• Первое уравнение $x^2 - y = -4$ преобразуется в $y = x^2 + 4$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 4)$.
• Второе уравнение $x + y = 3$ преобразуется в $y = -x + 3$. Это график прямой линии, проходящей через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Шаг 2: Проанализируем взаимное расположение графиков.

Минимальное значение функции $y = x^2 + 4$ достигается в ее вершине и равно 4. То есть для любой точки на параболе координата $y \ge 4$.

Для прямой $y = -x + 3$ можно заметить, что она проходит через точку $(0, 3)$ на оси ординат, что ниже вершины параболы $(0, 4)$. Так как парабола открывается вверх, а прямая имеет отрицательный наклон, графики никогда не пересекутся.

Отсутствие точек пересечения графиков означает, что система уравнений не имеет решений.

Оба метода приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: решений нет.

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 - 7x - 8 > 0$

Б) $x^2 - 7x + 14 < 0$

В) $x^2 + 7x - 8 < 0$

Множества решений

1) $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$

2) $(-8; 1)$

3) $(-1; 8)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

А) $x^2 - 7x - 8 > 0$
Чтобы решить данное квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8$
Графиком функции $y = x^2 - 7x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - 7x - 8 > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола расположена выше оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$, что соответствует варианту 1.
Ответ: 1.

Б) $x^2 - 7x + 14 < 0$
Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 7x + 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 49 - 56 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = x^2 - 7x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Так как парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она целиком расположена в верхней полуплоскости. Это значит, что значение выражения $x^2 - 7x + 14$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $x^2 - 7x + 14 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество, обозначаемое $\emptyset$. Это соответствует варианту 5.
Ответ: 5.

В) $x^2 + 7x - 8 < 0$
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$
Графиком функции $y = x^2 + 7x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 7x - 8 < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола расположена ниже оси абсцисс, то есть между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-8; 1)$, что соответствует варианту 2.
Ответ: 2.