Номер 6, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 - 7x - 8 > 0$

Б) $x^2 - 7x + 14 < 0$

В) $x^2 + 7x - 8 < 0$

Множества решений

1) $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$

2) $(-8; 1)$

3) $(-1; 8)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

А) $x^2 - 7x - 8 > 0$
Чтобы решить данное квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8$
Графиком функции $y = x^2 - 7x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 - 7x - 8 > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола расположена выше оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$, что соответствует варианту 1.
Ответ: 1.

Б) $x^2 - 7x + 14 < 0$
Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 7x + 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 49 - 56 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = x^2 - 7x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Так как парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она целиком расположена в верхней полуплоскости. Это значит, что значение выражения $x^2 - 7x + 14$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $x^2 - 7x + 14 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество, обозначаемое $\emptyset$. Это соответствует варианту 5.
Ответ: 5.

В) $x^2 + 7x - 8 < 0$
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$
Графиком функции $y = x^2 + 7x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 7x - 8 < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола расположена ниже оси абсцисс, то есть между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-8; 1)$, что соответствует варианту 2.
Ответ: 2.