Номер 3, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 + 6x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = -9$

2) $a = 9$

3) $a = -3$

4) $a = 3$

Данное неравенство $x^2 + 6x - a \le 0$ является квадратным. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = x^2 + 6x - a$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $y \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график параболы находится на оси Ox или ниже неё.

Для параболы с ветвями вверх возможны три случая:

• Парабола пересекает ось Ox в двух точках. Тогда решение неравенства $y \le 0$ — это отрезок $[x_1; x_2]$, то есть бесконечное множество решений.
• Парабола не пересекает ось Ox (расположена полностью выше оси). Тогда неравенство $y \le 0$ не имеет решений.
• Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине). В этой точке $y=0$, а во всех остальных точках $y>0$. В этом случае неравенство $y \le 0$ будет иметь единственное решение — абсциссу точки касания.

Следовательно, для того чтобы неравенство имело единственное решение, необходимо, чтобы соответствующее ему квадратное уравнение $x^2 + 6x - a = 0$ имело один корень. Это происходит, когда дискриминант (D) равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 + 6x - a = 0$. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=6$, $c=-a$.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю:
$36 + 4a = 0$
$4a = -36$
$a = \frac{-36}{4}$
$a = -9$

При $a = -9$ неравенство принимает вид $x^2 + 6x - (-9) \le 0$, что равносильно $x^2 + 6x + 9 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы: $(x+3)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это $(x+3)^2 = 0$, откуда $x = -3$. Таким образом, при $a=-9$ неравенство действительно имеет единственное решение.

Ответ: 1) $a = -9$