Номер 5, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} x^2 - y = -4, \\ x + y = 3? \end{cases}$

1) решений нет

2) одно решение

3) два решения

4) четыре решения

Для определения количества решений системы уравнений можно использовать как аналитический, так и графический метод.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = -4 \\ x + y = 3 \end{cases} $$

1. Аналитическое решение (метод подстановки)

Этот метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение.

Шаг 1: Из второго уравнения $x + y = 3$ выразим переменную $y$:

$y = 3 - x$

Шаг 2: Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $x^2 - y = -4$:

$x^2 - (3 - x) = -4$

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$x^2 - 3 + x = -4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$x^2 + x - 3 + 4 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$

Шаг 4: Найдем количество действительных корней этого уравнения, вычислив его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=1$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D = -3$ отрицателен ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует действительного значения $x$, удовлетворяющего системе. Следовательно, и вся система уравнений не имеет действительных решений.

2. Графическое решение

Количество решений системы уравнений равно числу точек пересечения графиков функций, входящих в систему.

Шаг 1: Преобразуем уравнения к виду функций $y(x)$.

• Первое уравнение $x^2 - y = -4$ преобразуется в $y = x^2 + 4$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 4)$.
• Второе уравнение $x + y = 3$ преобразуется в $y = -x + 3$. Это график прямой линии, проходящей через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Шаг 2: Проанализируем взаимное расположение графиков.

Минимальное значение функции $y = x^2 + 4$ достигается в ее вершине и равно 4. То есть для любой точки на параболе координата $y \ge 4$.

Для прямой $y = -x + 3$ можно заметить, что она проходит через точку $(0, 3)$ на оси ординат, что ниже вершины параболы $(0, 4)$. Так как парабола открывается вверх, а прямая имеет отрицательный наклон, графики никогда не пересекутся.

Отсутствие точек пересечения графиков означает, что система уравнений не имеет решений.

Оба метода приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: решений нет.