Номер 2, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите неравенство, решением которого является любое действительное число.

1) $x^2 - 4x - 7 < 0$

2) $x^2 - 4x + 7 < 0$

3) $x^2 - 4x - 7 > 0$

4) $x^2 - 4x + 7 > 0$

Для того чтобы найти неравенство, решением которого является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из предложенных квадратичных неравенств.

Решение квадратного неравенства $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ зависит от знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$) и от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет наличие действительных корней у уравнения $ax^2 + bx + c = 0$).

Во всех предложенных неравенствах коэффициент $a=1$, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх. Чтобы такое неравенство было верно для всех действительных чисел $x$, соответствующая парабола должна целиком располагаться выше оси абсцисс (для неравенств со знаком '>') или целиком ниже (для неравенств со знаком '<'). Поскольку ветви направлены вверх, парабола может располагаться только целиком выше оси $Ox$. Это происходит, когда у соответствующего квадратного уравнения нет действительных корней, то есть когда дискриминант $D < 0$.

Таким образом, мы ищем неравенство вида $x^2+bx+c > 0$, для которого дискриминант $D < 0$.

1) $x^2 - 4x - 7 < 0$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 7$. Вычислим его дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44$.
Так как $D > 0$, парабола $y = x^2 - 4x - 7$ пересекает ось абсцисс в двух точках. Это значит, что трёхчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, данное неравенство выполняется не для всех действительных чисел.

2) $x^2 - 4x + 7 < 0$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 4x + 7$. Вычислим его дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), то значения трёхчлена $x^2 - 4x + 7$ всегда положительны. Неравенство $x^2 - 4x + 7 < 0$ утверждает, что всегда положительное выражение меньше нуля, что неверно. У этого неравенства нет решений.

3) $x^2 - 4x - 7 > 0$

Для этого трёхчлена дискриминант $D = 44 > 0$ (как в пункте 1). Парабола пересекает ось абсцисс, поэтому трёхчлен не является всегда положительным. Решением неравенства будет объединение двух промежутков, а не все действительные числа.

4) $x^2 - 4x + 7 > 0$

Для этого трёхчлена дискриминант $D = -12 < 0$ (как в пункте 2). Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, трёхчлен $x^2 - 4x + 7$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 7 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Другой способ убедиться в этом — выделить полный квадрат:
$x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$.
Выражение $(x - 2)^2$ неотрицательно для любого $x$: $(x - 2)^2 \ge 0$.
Тогда $(x - 2)^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку $3 > 0$, то и $x^2 - 4x + 7 > 0$ для всех действительных $x$.

Ответ: 4