Номер 11, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 10$ и $y = x - 2$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков уравнений, необходимо решить систему этих уравнений. Точки пересечения являются общими точками для обоих графиков, поэтому их координаты $(x; y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 2)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 4x + 4 = 10$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 4x + 4 - 10 = 0$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -1$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x - 2$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3 - 2 = 1$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(3; 1)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = -1 - 2 = -3$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-1; -3)$.

Ответ: $(3; 1)$ и $(-1; -3)$.