Номер 6, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 + 5x - 6 < 0$

Б) $x^2 + 5x + 6 > 0$

В) $x^2 + 4x + 6 > 0$

Множества решений

1) $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$

2) $(-3; -2)$

3) $(-6; 1)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

Для установления соответствия решим каждое из неравенств.

А) $x^2 + 5x - 6 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1$ Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Следовательно, решением является интервал $(-6; 1)$. Данное множество решений соответствует варианту 3).

Ответ: 3

Б) $x^2 + 5x + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$ Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 5x + 6 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси x, то есть левее меньшего корня и правее большего корня. Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$. Данное множество решений соответствует варианту 1).

Ответ: 1

В) $x^2 + 4x + 6 > 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + 4x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 + 4x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), которая не пересекает ось x. Это означает, что парабола полностью расположена в верхней полуплоскости, и значение выражения $x^2 + 4x + 6$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Данное множество решений соответствует варианту 4).

Ответ: 4