Номер 2, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите неравенство, не имеющее решений.

1) $x^2 + 3x - 5 < 0$

2) $x^2 + 3x - 5 > 0$

3) $x^2 + 3x + 5 < 0$

4) $x^2 + 3x + 5 > 0$

Чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, проанализируем каждое из них. Решение квадратного неравенства зависит от свойств соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Ключевыми являются знак старшего коэффициента $a$ (направление ветвей параболы) и знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (количество точек пересечения с осью Ox).

Во всех предложенных неравенствах старший коэффициент $a = 1$, что больше нуля, следовательно, ветви всех парабол направлены вверх.

1) $x^2 + 3x - 5 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 5$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Поскольку $D > 0$, парабола $y = x^2 + 3x - 5$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, между этими точками график функции расположен ниже оси Ox, то есть значения функции отрицательны. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: имеет решения.

2) $x^2 + 3x - 5 > 0$

Для данного неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 1, с дискриминантом $D = 29 > 0$. Парабола пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, за пределами интервала между корнями график функции находится выше оси Ox, то есть значения функции положительны. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: имеет решения.

3) $x^2 + 3x + 5 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 5$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку $D < 0$, парабола $y = x^2 + 3x + 5$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, весь ее график расположен выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 3x + 5$ всегда положительно при любом $x$. Неравенство требует, чтобы это положительное выражение было меньше нуля, что невозможно.
Ответ: не имеет решений.

4) $x^2 + 3x + 5 > 0$

Для данного неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 3, где $D = -11 < 0$ и $a=1>0$. Как мы установили, выражение $x^2 + 3x + 5$ всегда положительно. Неравенство $x^2 + 3x + 5 > 0$ выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: имеет решения.

Таким образом, единственное неравенство из предложенных, которое не имеет решений, это неравенство под номером 3.