Номер 3, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 - 10x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = -5$

2) $a = 5$

3) $a = -25$

4) $a = 25$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 10x - a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство $x^2 - 10x - a \le 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или ниже нее.

Данное неравенство будет иметь единственное решение только в том случае, если парабола касается оси абсцисс в одной точке (в своей вершине). В этой точке значение функции будет равно нулю ($y=0$), а во всех остальных точках оно будет строго положительным ($y > 0$). Таким образом, условие $y \le 0$ будет выполняться только для одного значения $x$.

Условие касания параболы оси абсцисс равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 10x - a = 0$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 10x - a = 0$. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-10$, $C=-a$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 100 + 4a$.

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $a$:$100 + 4a = 0$$4a = -100$$a = \frac{-100}{4}$$a = -25$

Следовательно, при $a = -25$ неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $a = -25$