Страница 119 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 43.

1) $x^2 - 4 \le 0$
2) $x^2 - 2x \le 0$
3) $x^2 - 4 \ge 0$
4) $x^2 - 2x \ge 0$

Рис. 43

На рисунке 43 изображено множество решений, которое представляет собой объединение двух промежутков: $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$. Это означает, что искомое неравенство выполняется для всех $x$, которые меньше или равны 0, а также для всех $x$, которые больше или равны 2. Точки 0 и 2 являются корнями соответствующего квадратного уравнения. Так как точки закрашены, неравенство является нестрогим (со знаком $\le$ или $\ge$).

Рассмотрим каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, которое соответствует данному множеству решений.

1) $x^2 - 4 \le 0$

Сначала решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x+2)=0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями. Таким образом, решением является отрезок $[-2, 2]$. Это не соответствует рисунку.

Ответ: неверно.

2) $x^2 - 2x \le 0$

Решим уравнение $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-2)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[0, 2]$. Это не соответствует рисунку.

Ответ: неверно.

3) $x^2 - 4 \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это не соответствует рисунку, так как левая граница равна -2, а не 0.

Ответ: неверно.

4) $x^2 - 2x \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$. Это множество решений полностью совпадает с изображенным на рисунке.

Ответ: верно.

2. Укажите неравенство, не имеющее решений.

1) $x^2 + 3x - 5 < 0$

2) $x^2 + 3x - 5 > 0$

3) $x^2 + 3x + 5 < 0$

4) $x^2 + 3x + 5 > 0$

Чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, проанализируем каждое из них. Решение квадратного неравенства зависит от свойств соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Ключевыми являются знак старшего коэффициента $a$ (направление ветвей параболы) и знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (количество точек пересечения с осью Ox).

Во всех предложенных неравенствах старший коэффициент $a = 1$, что больше нуля, следовательно, ветви всех парабол направлены вверх.

1) $x^2 + 3x - 5 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 5$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Поскольку $D > 0$, парабола $y = x^2 + 3x - 5$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, между этими точками график функции расположен ниже оси Ox, то есть значения функции отрицательны. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: имеет решения.

2) $x^2 + 3x - 5 > 0$

Для данного неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 1, с дискриминантом $D = 29 > 0$. Парабола пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, за пределами интервала между корнями график функции находится выше оси Ox, то есть значения функции положительны. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: имеет решения.

3) $x^2 + 3x + 5 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 5$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Поскольку $D < 0$, парабола $y = x^2 + 3x + 5$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, весь ее график расположен выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 3x + 5$ всегда положительно при любом $x$. Неравенство требует, чтобы это положительное выражение было меньше нуля, что невозможно.
Ответ: не имеет решений.

4) $x^2 + 3x + 5 > 0$

Для данного неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 3, где $D = -11 < 0$ и $a=1>0$. Как мы установили, выражение $x^2 + 3x + 5$ всегда положительно. Неравенство $x^2 + 3x + 5 > 0$ выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: имеет решения.

Таким образом, единственное неравенство из предложенных, которое не имеет решений, это неравенство под номером 3.

3. При каком значении $a$ неравенство $x^2 - 10x - a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = -5$

2) $a = 5$

3) $a = -25$

4) $a = 25$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 10x - a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство $x^2 - 10x - a \le 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или ниже нее.

Данное неравенство будет иметь единственное решение только в том случае, если парабола касается оси абсцисс в одной точке (в своей вершине). В этой точке значение функции будет равно нулю ($y=0$), а во всех остальных точках оно будет строго положительным ($y > 0$). Таким образом, условие $y \le 0$ будет выполняться только для одного значения $x$.

Условие касания параболы оси абсцисс равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 10x - a = 0$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 10x - a = 0$. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-10$, $C=-a$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 100 + 4a$.

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $a$:$100 + 4a = 0$$4a = -100$$a = \frac{-100}{4}$$a = -25$

Следовательно, при $a = -25$ неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $a = -25$

4. Какие фигуры являются графиками уравнений системы $ \begin{cases} x^2 + y = 16, \\ x + y = 4? \end{cases} $

1) окружность и прямая

2) окружность и парабола

3) парабола и прямая

4) гипербола и прямая

Для того чтобы определить, какие фигуры являются графиками уравнений системы, необходимо проанализировать каждое уравнение в отдельности.

Первое уравнение системы: $x^2 + y = 16$.
Выразим $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к стандартному виду функции: $y = -x^2 + 16$.
Это уравнение является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции всегда является парабола.

Второе уравнение системы: $x + y = 4$.
Выразим $y$ через $x$: $y = -x + 4$.
Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$. Графиком такой функции всегда является прямая.

Таким образом, мы установили, что графиками уравнений системы являются парабола и прямая. Теперь сравним этот вывод с предложенными вариантами ответов.

1) окружность и прямая
Данный вариант неверен. Графиком первого уравнения является парабола, а не окружность. Уравнение окружности имело бы вид $x^2 + y^2 = R^2$.

2) окружность и парабола
Данный вариант неверен, так как второе уравнение задает прямую, а не параболу, и первое уравнение задает параболу, а не окружность.

3) парабола и прямая
Данный вариант полностью соответствует нашему анализу. Первое уравнение задает параболу, а второе — прямую.

4) гипербола и прямая
Данный вариант неверен. Графиком первого уравнения является парабола, а не гипербола.

Следовательно, правильным является вариант ответа 3.
Ответ: 3) парабола и прямая.

5. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 2, \\ x - y = 1 \end{cases}$?

1) решений нет

2) одно решение

3) два решения

4) четыре решения

Для того чтобы определить, сколько решений имеет данная система уравнений, воспользуемся методом подстановки. Исходная система:

$ \begin{cases} x^2 + y = 2, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Сначала выразим одну переменную через другую из второго, более простого, уравнения. Выразим y:

$x - y = 1 \implies y = x - 1$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (x - 1) = 2$

Мы получили уравнение с одной переменной x. Упростим его, чтобы привести к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 1 = 2$

$x^2 + x - 1 - 2 = 0$

$x^2 + x - 3 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта ($D$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -3$.

Найдем дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

Поскольку дискриминант $D = 13 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для x. Каждому из этих двух значений x будет соответствовать одно уникальное значение y (которое можно найти из уравнения $y = x - 1$).

Таким образом, система уравнений имеет два различных решения.

Ответ: 3) два решения

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $x^2 + 5x - 6 < 0$

Б) $x^2 + 5x + 6 > 0$

В) $x^2 + 4x + 6 > 0$

Множества решений

1) $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$

2) $(-3; -2)$

3) $(-6; 1)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

Для установления соответствия решим каждое из неравенств.

А) $x^2 + 5x - 6 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1$ Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Следовательно, решением является интервал $(-6; 1)$. Данное множество решений соответствует варианту 3).

Ответ: 3

Б) $x^2 + 5x + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$ Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 5x + 6 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси x, то есть левее меньшего корня и правее большего корня. Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$. Данное множество решений соответствует варианту 1).

Ответ: 1

В) $x^2 + 4x + 6 > 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + 4x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 + 4x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), которая не пересекает ось x. Это означает, что парабола полностью расположена в верхней полуплоскости, и значение выражения $x^2 + 4x + 6$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Данное множество решений соответствует варианту 4).

Ответ: 4