Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. На рисунке 36 изображён график функции $y = ax^2$.

Найдите значение $a$.

Рис. 36

Чтобы найти значение коэффициента a в уравнении функции $y = ax^2$, нужно выбрать на графике любую точку, кроме вершины в начале координат, и подставить её координаты в уравнение.

Из рисунка видно, что график функции проходит через точку с координатами ($2; -1$). Это означает, что при $x = 2$ значение функции $y$ равно $-1$.

Подставим эти значения в уравнение функции:

$-1 = a \cdot (2)^2$

Выполним вычисления:

$-1 = a \cdot 4$

Теперь выразим a из этого уравнения:

$a = \frac{-1}{4}$

$a = -0,25$

Таким образом, уравнение данной параболы имеет вид $y = -0,25x^2$.

Ответ: $a = -0,25$

12. Чему равно наибольшее значение функции $y = 5x^2 - 20x + 1$ на промежутке $[-2; -1]$?

Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции $y = 5x^2 - 20x + 1$ на отрезке $[-2; -1]$, определим сначала свойства этой функции. Графиком функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Наименьшее значение такая функция достигает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы $x_0$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае коэффициенты $a=5$ и $b=-20$.

$x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Абсцисса вершины параболы $x_0=2$ не принадлежит заданному отрезку $[-2; -1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$. Отрезок $[-2; -1]$ полностью входит в этот промежуток, следовательно, на отрезке $[-2; -1]$ функция $y = 5x^2 - 20x + 1$ является монотонно убывающей.

Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой. Нам нужно найти наибольшее значение, поэтому вычислим значение функции в точке $x = -2$. Для проверки вычислим также значение в точке $x = -1$.

Значение функции в точке $x = -2$:

$y(-2) = 5(-2)^2 - 20(-2) + 1 = 5 \cdot 4 + 40 + 1 = 20 + 40 + 1 = 61$.

Значение функции в точке $x = -1$:

$y(-1) = 5(-1)^2 - 20(-1) + 1 = 5 \cdot 1 + 20 + 1 = 5 + 20 + 1 = 26$.

Сравнивая полученные значения, $61 > 26$, убеждаемся, что наибольшее значение функции на отрезке $[-2; -1]$ равно 61.

Ответ: 61