Страница 107 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. На рисунке 31 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя данный график, найдите нули функции $f$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ обращается в ноль. То есть, это корни уравнения $f(x) = 0$.

Геометрически на графике нули функции соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек, в которых график пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).

Для решения задачи необходимо найти на графике, изображенном на рисунке 31, точки его пересечения с осью $Ox$ и определить их абсциссы. Однако в предоставленном изображении содержится только текст вопроса, а сам рисунок 31 с графиком отсутствует.

Таким образом, предоставить конкретные числовые значения нулей функции не представляется возможным. Вам следует обратиться к рисунку 31 в вашем источнике и выписать значения $x$, в которых график пересекает горизонтальную ось.

Ответ: В связи с отсутствием изображения графика (рисунка 31) дать численный ответ невозможно. Нулями функции являются абсциссы точек пересечения её графика с осью $Ox$.

8. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 31, найдите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Для решения неравенства $f(x) > 0$ по графику функции $y = f(x)$ необходимо найти все значения аргумента $x$, при которых график функции расположен выше оси абсцисс (оси $Ox$), так как именно на этих участках ордината $y$ (значение функции $f(x)$) положительна.

Чтобы найти это множество, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти на графике все интервалы по оси $x$, на которых линия графика функции $y = f(x)$ проходит выше оси $Ox$.
2. Определить абсциссы точек, в которых график пересекает ось $Ox$. Эти точки являются нулями функции ($f(x) = 0$) и будут служить границами искомых интервалов.
3. Записать найденные интервалы. Поскольку неравенство строгое ($> 0$), сами граничные точки (нули функции) в решение не включаются, поэтому для записи интервалов используются круглые скобки.

Так как в условии задачи отсутствует сам график (рисунок 31), невозможно дать конкретный числовой ответ. Ниже приведено общее решение.

Ответ: Множеством решений неравенства $f(x) > 0$ является объединение всех интервалов оси абсцисс, для которых соответствующие им части графика функции $y = f(x)$ лежат выше этой оси.

9. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 31, найдите промежуток убывания функции $f$.

Рис. 31

Промежуток убывания функции – это интервал, на котором при увеличении аргумента (координаты $x$) значение функции (координаты $y$) уменьшается. На графике это соответствует участку, где линия функции направлена вниз при движении слева направо.

Анализируя представленный график функции $y = f(x)$, мы видим следующее:

1. Слева от точки с абсциссой $x = -1$ функция возрастает (график идет вверх).
2. В точке с абсциссой $x = -1$ находится локальный максимум функции.
3. Начиная от точки $x = -1$ и до точки с абсциссой $x = 0.5$, график функции идет вниз. Это означает, что на этом интервале функция убывает.
4. В точке с абсциссой $x = 0.5$ находится локальный минимум функции.
5. Справа от точки $x = 0.5$ функция снова возрастает (график идет вверх).

Таким образом, единственным промежутком убывания функции на изображенном участке является интервал от $x = -1$ до $x = 0.5$. Включая концы интервала, получаем отрезок $[-1; 0.5]$.

Ответ: $[-1; 0.5]$

10. На рисунке 32 изображён график функции $y = -x^2 - 4x - 2$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 32

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить все значения по оси ординат (оси $y$), которые соответствуют точкам на графике.

На рисунке изображён график квадратичной функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение, но не ограничена снизу. Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

По графику находим координаты вершины параболы. Это самая высокая точка графика. Её координаты $(-2; 2)$.

Это означает, что максимальное значение, которое может принимать функция, равно 2. Все остальные значения функции меньше 2. Так как ветви параболы уходят вниз бесконечно, функция принимает все значения от $-\infty$ до 2 включительно.

Следовательно, область значений данной функции — это промежуток $(-\infty; 2]$.

Можно также проверить это аналитически. Функция задана уравнением $y = -x^2 - 4x - 2$. Это парабола вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=-1$, $b=-4$.
Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.
Координата $y$ вершины (максимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение: $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.
Расчет подтверждает, что вершина находится в точке $(-2; 2)$, а максимальное значение функции равно 2.

Ответ: $(-\infty; 2]$