Номер 10, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. На рисунке 32 изображён график функции $y = -x^2 - 4x - 2$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 32

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить все значения по оси ординат (оси $y$), которые соответствуют точкам на графике.

На рисунке изображён график квадратичной функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение, но не ограничена снизу. Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

По графику находим координаты вершины параболы. Это самая высокая точка графика. Её координаты $(-2; 2)$.

Это означает, что максимальное значение, которое может принимать функция, равно 2. Все остальные значения функции меньше 2. Так как ветви параболы уходят вниз бесконечно, функция принимает все значения от $-\infty$ до 2 включительно.

Следовательно, область значений данной функции — это промежуток $(-\infty; 2]$.

Можно также проверить это аналитически. Функция задана уравнением $y = -x^2 - 4x - 2$. Это парабола вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=-1$, $b=-4$.
Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.
Координата $y$ вершины (максимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение: $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.
Расчет подтверждает, что вершина находится в точке $(-2; 2)$, а максимальное значение функции равно 2.

Ответ: $(-\infty; 2]$