Номер 5, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат?

1) $y = (x - 4)^2$

2) $y = x^2 - 4x$

3) $y = x^2 - 4$

4) $y = 4x - x^2$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (оси $y$), если ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ параболы, заданной уравнением в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Таким образом, условие того, что вершина параболы лежит на оси ординат, — это $x_0 = 0$.
Это равенство, $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, выполняется тогда и только тогда, когда $b = 0$ (поскольку для параболы коэффициент $a \neq 0$).
Проверим каждую из предложенных парабол на наличие члена с $x$ в первой степени (то есть, на равенство коэффициента $b$ нулю).

1) $y = (x - 4)^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:
$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.
В этом уравнении коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=16$.
Так как $b = -8 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

2) $y = x^2 - 4x$

Уравнение уже представлено в стандартном виде.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=0$.
Так как $b = -4 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

3) $y = x^2 - 4$

Уравнение представлено в стандартном виде. Его можно записать как $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 4$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=0$, $c=-4$.
Так как $b = 0$, вершина этой параболы принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

4) $y = 4x - x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = -x^2 + 4x$.
Коэффициенты: $a=-1$, $b=4$, $c=0$.
Так как $b = 4 \neq 0$, вершина этой параболы не принадлежит оси ординат.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Таким образом, единственная парабола, вершина которой принадлежит оси ординат, — это парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 4$.

Ответ: 3