Номер 10, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. На рисунке 35 изображён график функции $y = x^2 + 2x + 4$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 35

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для квадратичной функции, график которой является параболой, область значений определяется направлением ветвей и ординатой (координатой $y$) вершины.

В данном случае задана функция $y = x^2 + 2x + 4$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти область значений, необходимо определить ординату вершины параболы. Это можно сделать двумя способами: по графику или аналитически.

1. Определение по графику:

На представленном графике (рис. 35) видно, что самая низкая точка параболы (ее вершина) находится в точке с координатами $(-1, 3)$. Это означает, что наименьшее значение, которое принимает функция $y$, равно 3. Все остальные точки графика лежат выше этой отметки. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 3.

2. Аналитический расчет:

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно рассчитать по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для функции $y = x^2 + 2x + 4$ коэффициенты равны $a=1$, $b=2$, $c=4$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Теперь подставим найденное значение $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, 3)$, и наименьшее значение функции равно 3. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения от 3 до $+\infty$.

Область значений функции записывается в виде промежутка.

Ответ: $[3; +\infty)$