Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. На рисунке 34 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя данный график, найдите нули функции $f$.

По определению, нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. На графике функции нули соответствуют абсциссам (координатам $x$) точек пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$).

Чтобы найти нули функции $f$, изображенной на рисунке, необходимо найти все точки, в которых ее график пересекает ось $Ox$. Из графика видно, что таких точек четыре. Их абсциссы равны -4, -1, 2 и 4.

Таким образом, нулями данной функции являются числа -4, -1, 2, 4.

Ответ: -4; -1; 2; 4.

8. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 34, найдите множество решений неравенства $f(x) < 0$.

Для решения неравенства $f(x) < 0$ необходимо найти множество всех значений аргумента $x$, при которых значения функции $f(x)$ (то есть ординаты $y$ на графике) являются отрицательными.

Геометрически это означает, что мы ищем те интервалы на оси абсцисс ($Ox$), на которых график функции $y = f(x)$ расположен ниже этой оси.

Чтобы найти решение по графику, необходимо следовать алгоритму:
1. Найти точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс $Ox$. Значения $x$ в этих точках являются корнями уравнения $f(x) = 0$.
2. Выделить на оси $Ox$ интервалы, на которых график функции находится ниже оси.
3. Записать найденные интервалы. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), сами точки пересечения с осью $Ox$ (где $f(x) = 0$) в решение не входят. Поэтому при записи интервалов используются круглые скобки.

Так как изображение графика функции (рисунок 34) не предоставлено, невозможно дать конкретный численный ответ. Ниже приведён пример для гипотетического графика.

Пример:
Предположим, что на рисунке 34 изображен график, который пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1$ и $x = 4$. Между этими точками график находится ниже оси $Ox$, а в остальных местах — выше или на оси. В этом случае решением неравенства $f(x) < 0$ будет интервал, где график лежит под осью, то есть $x \in (-1; 4)$.

Ответ: Для получения точного решения необходимо проанализировать график функции на рисунке 34. Множеством решений неравенства $f(x) < 0$ будут все интервалы значений $x$, для которых график функции $y=f(x)$ расположен ниже оси абсцисс.

9. Используя график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 34, найдите промежуток возрастания функции $f$.

Рис. 34

Промежуток возрастания функции — это промежуток, на котором при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ также увеличивается. На графике это соответствует участку, где кривая функции направлена вверх при движении слева направо.

Анализируя представленный на рисунке 34 график, можно выделить следующие участки:

1. На промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает (график идет вниз).
2. В точке $x = -2$ находится локальный минимум функции.
3. На промежутке $[-2; 0]$ функция возрастает (график идет вверх).
4. В точке $x = 0$ находится локальный максимум функции.
5. На промежутке $[0; +\infty)$ функция убывает (график идет вниз).

Таким образом, искомый промежуток возрастания функции $f$ — это промежуток, заключенный между абсциссами точек локального минимума и локального максимума.

Ответ: $[-2; 0]$

10. На рисунке 35 изображён график функции $y = x^2 + 2x + 4$. Используя данный график, найдите область значений функции.

Рис. 35

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для квадратичной функции, график которой является параболой, область значений определяется направлением ветвей и ординатой (координатой $y$) вершины.

В данном случае задана функция $y = x^2 + 2x + 4$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти область значений, необходимо определить ординату вершины параболы. Это можно сделать двумя способами: по графику или аналитически.

1. Определение по графику:

На представленном графике (рис. 35) видно, что самая низкая точка параболы (ее вершина) находится в точке с координатами $(-1, 3)$. Это означает, что наименьшее значение, которое принимает функция $y$, равно 3. Все остальные точки графика лежат выше этой отметки. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 3.

2. Аналитический расчет:

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно рассчитать по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для функции $y = x^2 + 2x + 4$ коэффициенты равны $a=1$, $b=2$, $c=4$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Теперь подставим найденное значение $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, 3)$, и наименьшее значение функции равно 3. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения от 3 до $+\infty$.

Область значений функции записывается в виде промежутка.

Ответ: $[3; +\infty)$