Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $2(8 - 7x) + 5x > 61$

Б) $0,4(15x - 12,5) < 5(1,2x - 2)$

В) $\frac{x}{6} - \frac{x}{4} < -\frac{5}{12}$

Множества решений

1) $(5; +\infty)$

2) $(-\infty; 5)$

3) $(-\infty; -5)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

А)

Решим неравенство $2(8 - 7x) + 5x > 61$.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства: $16 - 14x + 5x > 61$.

2. Приведем подобные слагаемые: $16 - 9x > 61$.

3. Перенесем число 16 в правую часть, изменив его знак: $-9x > 61 - 16$.

4. Выполним вычитание: $-9x > 45$.

5. Разделим обе части неравенства на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{45}{-9}$.

6. Вычислим значение: $x < -5$.

Множеством решений является интервал $(-\infty; -5)$. Это соответствует варианту 3 из правого столбца.

Ответ: 3

Б)

Решим неравенство $0.4(15x - 12.5) < 5(1.2x - 2)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $0.4 \cdot 15x - 0.4 \cdot 12.5 < 5 \cdot 1.2x - 5 \cdot 2$.

2. Выполним умножение: $6x - 5 < 6x - 10$.

3. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую: $6x - 6x < -10 + 5$.

4. Приведем подобные слагаемые: $0 \cdot x < -5$.

5. Получим неравенство $0 < -5$. Это неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Множество решений — пустое множество ($\emptyset$). Это соответствует варианту 5 из правого столбца.

Ответ: 5

В)

Решим неравенство $\frac{x}{6} - \frac{x}{4} < -\frac{5}{12}$.

1. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 6, 4 и 12, который равен 12: $12 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{x}{4}) < 12 \cdot (-\frac{5}{12})$.

2. Раскроем скобки: $12 \cdot \frac{x}{6} - 12 \cdot \frac{x}{4} < -5$.

3. Упростим выражение: $2x - 3x < -5$.

4. Приведем подобные слагаемые: $-x < -5$.

5. Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x > 5$.

Множеством решений является интервал $(5; +\infty)$. Это соответствует варианту 1 из правого столбца.

Ответ: 1

7. Оцените периметр $P$ прямоугольника, со сторонами $x$ см и $y$ см, если $4 < x < 4,5$ и $1 < y < 7$.

Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ см и $y$ см вычисляется по формуле: $P = 2(x + y)$.

Согласно условию задачи, стороны прямоугольника находятся в следующих пределах:
$4 < x < 4,5$
$1 < y < 7$

Чтобы оценить периметр, сначала необходимо оценить сумму сторон $(x + y)$. Для этого воспользуемся свойством числовых неравенств, которое позволяет их почленно складывать. Сложим левые части с левыми, а правые с правыми:
$4 + 1 < x + y < 4,5 + 7$
После выполнения сложения получаем новое двойное неравенство:
$5 < x + y < 11,5$

Теперь, зная интервал для суммы сторон, мы можем найти интервал для периметра $P$. Для этого умножим все части полученного неравенства на 2, так как $P = 2(x + y)$:
$2 \cdot 5 < 2(x + y) < 2 \cdot 11,5$
Выполним умножение:
$10 < P < 23$

Таким образом, значение периметра $P$ строго больше 10 см и строго меньше 23 см.

Ответ: $10 < P < 23$.

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства $3(1-x) - (2-x) \ge 6$.

Для того чтобы найти наибольшее целое решение неравенства, сначала решим само неравенство $3(1 - x) - (2 - x) \geq 6$.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 \cdot 1 - 3 \cdot x - 2 - (-x) \geq 6$

$3 - 3x - 2 + x \geq 6$

2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем числа и слагаемые с переменной $x$:

$(3 - 2) + (-3x + x) \geq 6$

$1 - 2x \geq 6$

3. Перенесем слагаемое без переменной (число 1) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-2x \geq 6 - 1$

$-2x \geq 5$

4. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (знак $ \geq $ меняется на $ \leq $):

$x \leq \frac{5}{-2}$

$x \leq -2.5$

Таким образом, решением неравенства являются все числа, которые меньше или равны $-2.5$.

5. Нам нужно найти наибольшее целое решение. На числовой прямой целые числа, удовлетворяющие условию $x \leq -2.5$, это ..., $-5, -4, -3$. Наибольшим из них является $-3$.

Ответ: $-3$

9. Чему равна сумма целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения выражения $ \sqrt{9x + 30} $?

Для того чтобы решить задачу, сначала необходимо найти область определения выражения $\sqrt{9x + 30}$.

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Следовательно, мы должны решить неравенство:

$9x + 30 \geq 0$

Перенесем 30 в правую часть неравенства, изменив знак:

$9x \geq -30$

Разделим обе части неравенства на 9:

$x \geq -\frac{30}{9}$

Сократим дробь:

$x \geq -\frac{10}{3}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$-\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$

Таким образом, область определения выражения — это все числа $x$, удовлетворяющие условию $x \geq -3\frac{1}{3}$.

Теперь нам нужно найти все целые отрицательные числа, которые принадлежат этой области определения. Это все целые числа, которые больше или равны $-3\frac{1}{3}$ и меньше нуля.

Такими числами являются: -3, -2, -1.

На последнем шаге найдем сумму этих чисел:

$(-3) + (-2) + (-1) = -6$

Ответ: -6

10. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} 5x - 3 < 6x + 1, \\ 2.5x + 3 \ge 2x + 2. \end{cases}$

Для того чтобы найти наименьшее целое решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство:

$5x - 3 < 6x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую:

$5x - 6x < 1 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-x < 4$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -4$

Теперь решим второе неравенство:

$2,5x + 3 \geq 2x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2,5x - 2x \geq 2 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$0,5x \geq -1$

Разделим обе части неравенства на $0,5$. Так как $0,5$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \geq -2$

Мы получили систему из двух решенных неравенств:

$\begin{cases} x > -4 \\ x \geq -2 \end{cases}$

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Условие $x \geq -2$ является более строгим, чем $x > -4$, так как любое число, большее или равное $-2$, автоматически будет больше $-4$. Следовательно, решением системы является $x \geq -2$.

Нам необходимо найти наименьшее целое решение. Целые числа, которые удовлетворяют условию $x \geq -2$, это $-2, -1, 0, 1, 2$ и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является $-2$.

Ответ: -2

11. Сколько целых решений имеет неравенство

$-3,25 \leq \frac{1-4x}{4} \leq 1,25?$

Для того чтобы найти количество целых решений неравенства, сначала решим это двойное неравенство относительно переменной $x$.

Исходное неравенство:

$-3,25 \le \frac{1 - 4x}{4} \le 1,25$

1. Умножим все три части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$4 \cdot (-3,25) \le 4 \cdot \frac{1 - 4x}{4} \le 4 \cdot 1,25$

$-13 \le 1 - 4x \le 5$

2. Вычтем 1 из всех трех частей неравенства, чтобы выделить выражение, содержащее $x$:

$-13 - 1 \le 1 - 4x - 1 \le 5 - 1$

$-14 \le -4x \le 4$

3. Разделим все три части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-14}{-4} \ge x \ge \frac{4}{-4}$

$3,5 \ge x \ge -1$

4. Запишем полученное неравенство в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания:

$-1 \le x \le 3,5$

5. Теперь необходимо найти все целые числа, которые находятся в промежутке $[-1; 3,5]$. Перечислим их:

-1, 0, 1, 2, 3

Подсчитаем количество этих чисел. Всего их 5.

Ответ: 5

12. Найдите множество решений неравенства $5 - ax > 0$, если $a < 0$.

Для решения неравенства $5 - ax > 0$ необходимо выразить переменную $x$.

Сначала перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-ax > -5$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $-a$. При делении неравенства на число или выражение важно учитывать его знак.

По условию задачи $a < 0$, то есть $a$ является отрицательным числом. Следовательно, выражение $-a$ будет положительным (например, если $a = -2$, то $-a = -(-2) = 2 > 0$).

Так как мы делим обе части неравенства на положительное число ($-a > 0$), знак неравенства $ > $ не меняется.

$\frac{-ax}{-a} > \frac{-5}{-a}$

$x > \frac{5}{a}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток от $\frac{5}{a}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{a}; +\infty)$