Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $5(2 - 3x) + 9x < -14$

Б) $0,5(8x - 4) > 20(0,2x - 0,3)$

В) $\frac{x}{6} - \frac{x}{5} < \frac{2}{15}$

Множества решений

1) $(4; +\infty)$

2) $(-\infty; 4)$

3) $(-4; +\infty)$

4) $(-\infty; +\infty)$

5) $\emptyset$

Для того чтобы установить соответствие, решим каждое неравенство.

А) $5(2 - 3x) + 9x < -14$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$10 - 15x + 9x < -14$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$10 - 6x < -14$

Перенесем 10 в правую часть с противоположным знаком:

$-6x < -14 - 10$

$-6x < -24$

Разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-24}{-6}$

$x > 4$

Решением является интервал $(4; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 1.

Ответ: 1

Б) $0,5(8x - 4) > 20(0,2x - 0,3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$0,5 \cdot 8x - 0,5 \cdot 4 > 20 \cdot 0,2x - 20 \cdot 0,3$

$4x - 2 > 4x - 6$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$4x - 4x > -6 + 2$

$0x > -4$

$0 > -4$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Решением является вся числовая прямая, то есть $(-\infty; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 4.

Ответ: 4

В) $\frac{x}{6} - \frac{x}{5} < \frac{2}{15}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 6, 5 и 15. НОК(6, 5, 15) = 30.

$30 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{x}{5}) < 30 \cdot \frac{2}{15}$

$\frac{30x}{6} - \frac{30x}{5} < \frac{60}{15}$

$5x - 6x < 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x < 4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -4$

Решением является интервал $(-4; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 3.

Ответ: 3

7. Оцените периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ см и $y$ см, если $3 < x < 9$ и $4 < y < 5,5$.

Периметр прямоугольника $P$ со сторонами $x$ и $y$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

Нам даны оценки для длин сторон прямоугольника в виде двойных неравенств:

$3 < x < 9$

$4 < y < 5,5$

Для того чтобы оценить периметр, сначала оценим сумму сторон $(x + y)$. Согласно свойству числовых неравенств, мы можем почленно сложить два неравенства одного знака. Сложим левые и правые части данных неравенств:

$3 + 4 < x + y < 9 + 5,5$

Выполнив сложение, получим новое двойное неравенство для суммы сторон:

$7 < x + y < 14,5$

Теперь, зная оценку для суммы $(x + y)$, мы можем найти оценку для периметра $P$. Для этого умножим все части полученного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$2 \cdot 7 < 2(x + y) < 2 \cdot 14,5$

Выполнив умножение, получаем итоговую оценку для периметра $P$:

$14 < P < 29$

Следовательно, периметр прямоугольника находится в интервале от 14 см до 29 см.

Ответ: $14 < P < 29$.

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$5x - 2(x - 4) \geq 9x + 23$.

Для решения данного неравенства необходимо последовательно выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки в левой части неравенства, умножив -2 на каждый член в скобках:

$5x - 2(x - 4) \ge 9x + 23$

$5x - 2x + 8 \ge 9x + 23$

2. Привести подобные слагаемые в левой части:

$3x + 8 \ge 9x + 23$

3. Сгруппировать все слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а все постоянные члены — в другой. Для этого перенесем $9x$ из правой части в левую и $8$ из левой части в правую, изменив их знаки на противоположные:

$3x - 9x \ge 23 - 8$

$-6x \ge 15$

4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -6. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ \ge $ на $ \le $):

$x \le \frac{15}{-6}$

5. Упростить полученную дробь:

$x \le -\frac{5}{2}$

Можно также представить дробь в виде десятичного числа:

$x \le -2.5$

6. Найти наибольшее целое решение. Неравенство $x \le -2.5$ означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно -2.5. Нам нужно найти самое большое целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше или равны -2.5, это ..., -5, -4, -3. Наибольшим среди них является -3.

Ответ: -3

9. Чему равна сумма натуральных чисел, принадлежащих области определения выражения $\sqrt{23-7x}$?

Область определения выражения $\sqrt{23-7x}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$23 - 7x \geq 0$

Перенесем 23 в правую часть неравенства:

$-7x \geq -23$

Разделим обе части неравенства на -7. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$x \leq \frac{-23}{-7}$

$x \leq \frac{23}{7}$

Чтобы определить, какие натуральные числа входят в область определения, представим дробь в виде смешанного числа:

$\frac{23}{7} = 3\frac{2}{7}$

Следовательно, $x \leq 3\frac{2}{7}$.

Натуральные числа — это целые положительные числа. Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $x \leq 3\frac{2}{7}$.

Такими числами являются 1, 2, 3.

Найдем их сумму:

$1 + 2 + 3 = 6$

Ответ: 6

10. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} 3x - 5 < 4x + 6, \\ x + 1 \ge 0.8x - 1. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x - 5 < 4x + 6$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$-5 - 6 < 4x - 3x$

$-11 < x$

Таким образом, решение первого неравенства: $x > -11$.

2. Решим второе неравенство:

$x + 1 \ge 0,8x - 1$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$x - 0,8x \ge -1 - 1$

$0,2x \ge -2$

Разделим обе части неравенства на 0,2 (что эквивалентно умножению на 5).

$x \ge \frac{-2}{0,2}$

$x \ge -10$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \ge -10$.

3. Объединим решения.

Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $x > -11$ и $x \ge -10$.

Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-10; +\infty)$. То есть, решением системы является $x \ge -10$.

4. Найдем наименьшее целое решение.

Нам необходимо найти наименьшее целое число, которое принадлежит промежутку $[-10; +\infty)$. Таким числом является -10.

Ответ: -10

11. Сколько целых решений имеет неравенство

$-6 \leq \frac{6-4x}{3} \leq 2$?

Для того чтобы определить количество целых решений, необходимо решить данное двойное неравенство.

Исходное неравенство:

$-6 \le \frac{6 - 4x}{3} \le 2$

Сначала умножим все три части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-6 \cdot 3 \le 6 - 4x \le 2 \cdot 3$

$-18 \le 6 - 4x \le 6$

Теперь вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое с $x$:

$-18 - 6 \le 6 - 4x - 6 \le 6 - 6$

$-24 \le -4x \le 0$

Далее разделим все части неравенства на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-24}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{0}{-4}$

$6 \ge x \ge 0$

Для удобства запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего к большему:

$0 \le x \le 6$

Теперь нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию, то есть находятся в промежутке $[0, 6]$ включительно. Перечислим их:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Подсчитаем количество этих чисел. Всего их 7.

Ответ: 7

12. Найдите множество решений неравенства $ax - 5 > 0$, если $a < 0$.

Для решения неравенства $ax - 5 > 0$ при заданном условии $a < 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изолируем слагаемое, содержащее переменную $x$. Для этого перенесем $-5$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$ax > 5$

2. Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент $a$, чтобы выразить $x$.

По условию задачи, $a$ является отрицательным числом ($a < 0$). Согласно правилам решения неравенств, при делении обеих частей на отрицательное число, знак неравенства должен быть изменен на противоположный (в данном случае знак «больше» $ > $ меняется на знак «меньше» $ < $).

Выполняем деление:

$\frac{ax}{a} < \frac{5}{a}$

$x < \frac{5}{a}$

Таким образом, решением неравенства являются все значения $x$, которые строго меньше $\frac{5}{a}$. Это можно представить в виде числового интервала.

Ответ: $(-\infty; \frac{5}{a})$